Análise Matemática III

Código:

L.EGI011

Sigla:

AM III

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2024/2025 - 1S

Ativa?	Sim
Página Web:	https://sigarra.up.pt/feup/pt/ucurr_geral.ficha_uc_view?pv_ocorrencia_id=538795
Unidade Responsável:	Secção de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Engenharia e Gestão Industrial

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L.EGI	124	Plano Oficial do ano letivo	2	-	6	52	162

Língua de trabalho

Português
Obs.: As aulas serão em Português e todos os Professores estão habilitados a falar inglês em qualquer circunstância

Objetivos

Nesta unidade curricular pretende-se atingir os seguintes objectivos:
 - transmitir aos estudantes os conceitos e as  técnicas de integração de equações diferenciais ordinárias e de sistemas de equações diferenciais ordinárias e a sua aplicação a problemas, quer de natureza física quer de natureza geométrica;
- dotar os estudantes dos conhecimentos fundamentais de cálculo integral sobre curvas e sobre superfícies bem como a compreensão e aplicação dos teoremas de integrais da análise vetorial;
- os estudantes deverão ainda ficar habilitados a utilizar a representação de funções periódicas em séries de Fourier;

Resultados de aprendizagem e competências

Os estudantes devem ser capazes de :
 - identificar e resolver as equações diferenciais ordinárias leccionadas;
 - resolver sistemas de equações diferenciais lineares de 1ª ordem;
 - obter as transformadas de Laplace de funções reais de variável real positiva e aplicar as suas propriedades;
 - calcular integrais de linha e de superfície aprofundando para isso os seus conhecimentos de integrais duplos e triplos;
 - aplicar os teoremas da análise vetorial para integrais de linha e de superfície;
 - determinação da série de Fourier de uma função periódica;

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Programa

Equações Diferenciais - definição de solução geral e problemas de valor inicial e na fronteira. Equações Diferenciais de 1ª Ordem. Teorema de existência e unicidade da solução. Equações homogéneas e trajectórias ortogonais. Equações diferenciais exactas e factor integrante. Equações diferenciais lineares (solução geral como soma da solução geral da equação homogénea associada com uma qualquer solução particular da equação completa - método da variação da constante); equações redutíveis a lineares ( equações de Bernoulli e Riccati). Equações de 2ª ordem - equações redutíveis a 1ª ordem: caso I em que a variável dependente não aparece explicitamente na equação de 2ª ordem. Equações diferenciais lineares de ordem n : equações diferenciais lineares de ordem n homogéneas; equações diferenciais lineares de ordem n homogéneas de coeficientes constantes – espaço vectorial de soluções. Equações não homogéneas - método da variação das constantes ou método de Wronski para obtenção de uma qualquer solução particular destas equações.
Sistemas de equações diferenciais - conceitos básicos e exemplos . Sistemas de equações diferenciais lineares de 1ªordem e sua relação com as equações diferenciais lineares de ordem n. Sistemas de equações diferenciais lineares de 1ªordem de coeficientes constantes homogéneos: solução geral. Sistemas de equações diferenciais lineares de 1ªordem não homogéneos: método da variação das constantes.
Transformadas de Laplace - definição e condições de existência; 1º e 2º Teoremas da translação; inversa da transformada de Laplace; transformada de Laplace da derivada; teorema da convolução. Transformada de Laplace de funções descontínuas. Aplicação à integração de equações diferenciais de coeficientes constantes.
Integrais de linha: propriedades, técnicas de cálculo e aplicações. Curvas e parametrizações. Campos irrotacionais. Função potencial. Campos conservativos e independência do caminho.
Integrais de superfície: propriedades, técnicas de cálculo e aplicações
Operadores diferenciais: gradiente, divergência, rotacional, operadores compostos e Laplaciano. Teorema de Green, Teorema de Stokes e Teorema de Gauss: enunciado, demonstração e aplicações.
Séries de Fourier: funções periódicas, funções pares e ímpares, funções não periódicas e suas  expansões periódicas. Séries trigonométricas de funções periódicas e condições para a sua convergência e soma. Aproximação por polinómio trigonométrico e respetivo erro quadrático.
Equação da corda vibrante, dedução da equação e integração por separação de variáveis

Bibliografia Obrigatória

Madureira, Luísa; Problemas de equações diferenciais ordinárias de Laplace. ISBN: 972-752-065-0
Kreyszig, Erwin; Advanced Engineering Mathematics. ISBN: 0-471-50729-6
Maria Luisa Romariz Madureira; Problemas de análise matemática para engenharia. ISBN: 9789899101562 (ISBN: 9789899101562)

Bibliografia Complementar

Wylie, C. Ray; Advanced engineering mathematics. ISBN: 0-07-066643-1
Apostol, Tom M.; Calculus

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

As aulas consistem em parte teórica (T) e parte prática (TP), sendo na teórica com exposições orais apoiadas na projeção de slides ou outras tecnologias como mesa digital e ainda escrita no quadro branco. Nestas aulas a dedução e a abstracção são consideradas fundamentais. Após cada tema serão sempre resolvidos exemplos de aplicação (exercícios de aplicação).
Nas componente prática das aulas os alunos devem resolver exercícios propostos, sugeridos com antecedência, e baseados tanto nos textos como no livro de exercícios indicado.

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Participação presencial	0,00
Teste	100,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	90,00
Frequência das aulas	78,00
Total:	168,00

Obtenção de frequência

Haverá controle de presenças nas aulas práticas (TP) não podendo o aluno exceder o número de faltas previstas (25% das aulas previstas).

No caso de exceder o número de faltas indicado, o aluno não terá frequência à disciplina e não poderá realizar qualquer exame desta disciplina, a menos que tenha um estatuto especial (consultar as normas pedagógicas e de avaliação da FEUP ). 

Fórmula de cálculo da classificação final

Classificação Total = 50% do primeiro teste + 50% do segundo teste

No exame de recurso, os alunos ainda não aprovados poderão repetir o primeiro teste ou o segundo teste (a nota a atribuir será a melhor em cada dessas provas) ou então realizar uma prova final com toda a matéria.

Os alunos que obtiveram aprovação, podem fazer a melhoria de classificação no exame de recurso, numa prova com toda a matéria.

A nota máxima 20 será atribuída apenas com realização de uma prova oral.

 

Provas e trabalhos especiais

Não previsto

Trabalho de estágio/projeto

Não previsto

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Conforme as normas da FEUP

Melhoria de classificação

Os alunos que obtiverem aprovação através dos testes, podem realizar a melhoria de classificação no exame de recurso numa prova final com toda a matéria.

Ressalva-se que a nota máxima, de 20 valores, será atribuída apenas com realização de uma prova oral.