Análise Numérica

Código:

L.EGI007

Sigla:

A N

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2024/2025 - 2S

Ativa?	Sim
Página Web:	https://sigarra.up.pt/feup/pt/ucurr_geral.ficha_uc_view?pv_ocorrencia_id=538791
Unidade Responsável:	Secção de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Engenharia e Gestão Industrial

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L.EGI	121	Plano Oficial do ano letivo	1	-	4,5	39	121,5

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Objectivos Gerais:
Conhecer os métodos de resolução numérica mais aplicáveis e mais eficientes, para cada problema base de Análise Numérica, bem como as condições de aplicabilidade e teoremas de convergência destes métodos. Espera-se que executem testes de aplicação prática em computador, discutindo os resultados obtidos, e que através da programação de alguns desses métodos em Matlab, adquiram prática de programação numérica.


Objectivos Específicos:
Em cada capítulo do programa, os alunos devem ser capazes de:

• Listar as condições de aplicabilidade dos métodos e enunciar os respectivos teoremas de convergência.
• Aplicar os métodos, fórmulas e algoritmos apresentados a problemas concretos e simples.
• Descrever o funcionamento dos métodos, traduzi-los em algoritmos e subprogramas (Functions) no MATLAB e testá-los com exemplos, comparando e analisando os resultados.
• Explicar as demonstrações dos teoremas apresentados e aplicar as técnicas descritas a situações relacionadas.
• Resolver novos problemas utilizando as ferramentas numéricas fornecidas e comparar o desempenho de diferentes métodos numéricos em termos de velocidade e confiabilidade.

É importante enfatizar que os alunos devem dominar a linguagem MATLAB. Contudo, ainda mais crucial é que sejam proficientes na escrita de pseudocódigo (linguagem algorítmica), pois essa habilidade constitui a base de qualquer linguagem de programação.

Nota: durante os testes e exames, os alunos não terão acesso a um computador, portanto, devem ter um domínio sólido da linguagem MATLAB e da linguagem algorítmica (pseudocódigo). Nos trabalhos, é obrigatório o uso da linguagem MATLAB.

Resultados de aprendizagem e competências

Em cada capítulo do programa, os alunos devem ser capazes de:

• Listar as condições de aplicabilidade dos métodos e enunciar os respectivos teoremas de convergência.
• Aplicar os métodos, fórmulas e algoritmos apresentados a problemas concretos e simples.
• Descrever o funcionamento dos métodos, traduzi-los em algoritmos e subprogramas (Functions) no MATLAB e testá-los com exemplos, comparando e analisando os resultados.
• Explicar as demonstrações dos teoremas apresentados e aplicar as técnicas descritas a situações relacionadas.
• Resolver novos problemas utilizando as ferramentas numéricas fornecidas e comparar o desempenho de diferentes métodos numéricos em termos de velocidade e confiabilidade.

É importante enfatizar que os alunos devem dominar a linguagem MATLAB. Contudo, ainda mais crucial é que sejam proficientes na escrita de pseudocódigo (linguagem algorítmica), pois essa habilidade constitui a base de qualquer linguagem de programação.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Os estudantes devem saber as matérias das unidades curriculares de Algebra Linear e Geometria Analítica, Análise Matemática I e II e de Programação de Computadores.
Presume-se que os alunos já tenham conhecimento da ferramenta MATLAB.

Instalação de MATLAB:
https://www.up.pt/portal/pt/updigital/software/comunidade/

Acesso

1. Aceda ao Portal "MATLAB para a Universidade do Porto";
2. Clique no botão "Sign in to get started" que se encontra no corpo da página;
3. Se não tiver nenhum registo prévio com a conta de email institucional, selecione a opção "No account? Create one!" e preencha o formulário que é apresentado consultando, se necessário, as instruções para a criação da conta MathWorks e instalação de licença individual.

Programa

Cap. 1 Erros de arredondamento e sua propagação: possível instabilidade dos métodos numéricos; origem dos erros de arredondamento, sistemas de numeração em computadores: sistemas de vírgula fixa e flutuante.

Cap. 2 Equações não lineares: condições gerais para a resolução, critérios de paragem dos métodos iterativos; métodos de cálculo: bissecções, Newton, secante, método iterativo simples (ponto fixo). Teoremas de convergência, estimativa e majoração dos erros de truncatura, ordem de convergência.

Cap. 3 Sistemas de Equações: métodos iterativos para resolução de sistemas de equações. Método de Jacobi, Método de Gauss Seidel, Método de Newton. Condições de Convergência.

Cap. 4 Aproximação de Funções: polinómio interpolador, fórmula interpoladora de Lagrange, fórmula interpoladora de Newton (diferenças divididas), mínimos quadrados.

Cap. 5 Integração Numérica: fórmulas de Newton-Cotes (ex: Trapézios e Simpson); fórmulas compostas; erros de integração numérica.

Cap. 6 Problemas de valor Inicial: existência e unicidade da solução, métodos numéricos, convergência.

Bibliografia Obrigatória

Maria Raquel Valença ; Análise Numérica, Universidade Aberta
Burden Richard L.; Numerical analysis. ISBN: 0-534-38216-9

Bibliografia Complementar

Heitor Pina ; Métodos numéricos , McGraw Hill , 1995

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

As exposições teóricas, apresentadas no quadro, em apresentações de PowerPoint ou em vídeos, são fortemente fundamentadas em Análise e Álgebra, sendo sempre acompanhadas, quando possível, de exemplos práticos que servem como motivação. Também são sugeridos outros exemplos para serem testados em computador, de forma a observar o seu comportamento prático, que será depois explicado à luz da teoria aprendida.

Nas aulas práticas, os alunos realizam exercícios em folha e papel e, em algumas aulas em salas equipadas com computadores e software adequado, implementam os algoritmos aprendidos nas aulas teóricas.

Fora das aulas, os alunos desenvolverão projectos de programação de média complexidade em Matlab (dois trabalhos práticos, que juntos valem 10% da nota final). Vale a pena destacar que os alunos têm 106 horas de estudo autónomo, que devem ser tidas em conta no seu planeamento de estudo. Fazer um estudo exclusivamente baseado na resolução de testes de anos anteriores não é uma prática recomendada por si só.

Software

Matlab

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Participação presencial	0,00
Teste	90,00
Trabalho escrito	10,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	106,00
Frequência das aulas	56,00
Total:	162,00

Obtenção de frequência

Presença em 75% das aulas práticas

Fórmula de cálculo da classificação final

Fórmula de Cálculo - nota final - avaliação contínua:
45% do primeiro teste + 45% do segundo teste + 10% (dois trabalhos a realizar ao longo do semestre)

Recurso:
Na prova de recurso os alunos ainda não aprovados só poderão fazer um teste global que vale 100%.

Melhoria:
Os alunos que obtiveram aprovação, podem fazer a melhoria de classificação na prova de recurso somente numa prova final com toda a matéria e que vale 100%.
A nota máxima 20 será atribuída apenas com realização de uma prova oral.


Nota Importante:
Durante a avaliação contínua, os alunos devem ter uma nota mínima de 7 valores em cada um dos testes, caso contrário terão que ir à época de recurso fazer um exame global.

Se os alunos tiverem, por exemplo, uma nota mínima superior ou igual a 7 valores no primeiro teste, e tiverem uma nota mínima inferior a 7 valores no segundo teste, sendo a média dos dois testes superior ou igual 9.5 valores, não ficarão aprovados à disciplina, e terão que fazer o exame final na época de recurso, que vale 100%.

Provas e trabalhos especiais

Ao longo do semestre os alunos terão que realizar dois trabalhos práticos que envolvem programação em MATLAB. O primeiro trabalho será realizado no início do semestre, euquanto nque o segundo trabalho será relaizado a meio do semestre. Os alunos alunos terão que defender oralmente o trabalho realizado.

Estes dois trabalhos valem 10% da nota final.

O primeiro trabalho vale 2.5% (0.5 valores em 20)
O segundo trabalho vale 7.5% (1.5 valores em 20)

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Apenas exame final.

Melhoria de classificação

Os alunos que obtiveram aprovação, podem fazer a melhoria de classificação no exame de recurso somente numa prova final com toda a matéria e que vale 100%.
A nota máxima 20 será atribuída apenas com realização de uma prova oral.

Observações

O material utilizado na disciplina será disponibilizado nos conteúdos da unidade curricular (menu à direita). Os estudantes devem, ainda, consultar a bibliografia recomendada.