Álgebra Linear e Geometria Analítica

Código:

L.EGI002

Sigla:

ALGA

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2024/2025 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Secção de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Engenharia e Gestão Industrial

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L.EGI	127	Plano Oficial do ano letivo	1	-	6	52	162

Língua de trabalho

Português

Objetivos

A unidade curricular tem dois objetivos fundamentais: por um lado, tratando-se de uma unidade curricular propedêutica, tem um caráter didático/científico, promovendo o desenvolvimento do raciocínio lógico e de métodos de análise; e, por outro, visa introduzir e desenvolver em termos teóricos um conjunto de conceitos que serão ferramentas essenciais para apoio a outras unidades curriculares do curso.
São introduzidos conceitos fundamentais sobre Álgebra Linear e Álgebra Vetorial e Geometria Analítica, que se consideram indispensáveis na formação matemática de um estudante de Engenharia.

Resultados de aprendizagem e competências

No final do período letivo os estudantes devem ser capazes de:
a) Conhecer as operações algébricas com vetores, suas propriedades e saber aplicá-las;
b) Definir espaço linear, subespaço linear e espaço euclidiano;
c) Definir combinação linear de vetores, independência/dependência linear de vetores e subespaço gerado por um conjunto de vetores;
d) Definir e determinar uma base e a dimensão de um espaço linear; obter as coordenadas de um vetor em relação a uma base;
e) Definir reta e plano, conhecer as suas propriedades e saber representá-los através de expressões matemáticas adequadas;
f) Resolver problemas com retas e planos envolvendo distâncias, ângulos e ser capaz de identificar as suas posições relativas no espaço;
g) Conhecer as operações básicas com matrizes, suas propriedades e saber operar com elas;
h) Definir e determinar a característica de uma matriz;
i) Definir matriz não singular, conhecer as propriedades da matriz inversa e saber determiná-la;
j) Definir o determinante de uma matriz, conhecer as suas propriedades e saber determiná-lo;
k) Analisar e resolver sistemas de equações lineares;
l) Definir uma transformação linear, calcular e caracterizar o seu núcleo e contradomínio, conhecer as suas operações algébricas, saber em que condições ela é injetiva e, neste caso, definir e calcular a sua transformação inversa;
m) Recorrer à matriz para representar uma transformação linear e operar com transformações lineares recorrendo à álgebra matricial;
n) Definir matriz mudança de base e aplicá-la a problemas de mudanças de base envolvendo elementos de um espaço linear e transformações lineares;
o) Definir matrizes semelhantes e conhecer as suas propriedades;
p) Calcular valores próprios e vetores próprios de transformações lineares, conhecer as suas propriedades e identificar, no caso de ser possível, uma representação matricial diagonal para a transformação linear.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

O estudante deverá ter conhecimentos básicos sobre trigonometria, funções reais a uma variável real, geometria analítica plana, sistemas de equações lineares e lógica.

Programa

Operações algébricas com vetores: adição e produto de um vetor por um escalar.
Definição de espaço linear; subespaços lineares. Independência e dependência linear. Bases e dimensão. Componentes e coordenadas.
Produto interno. Espaços euclidianos. Norma. Ortogonalidade.
Produto vetorial e produto misto. Estudo da reta em Rⁿ. Aplicações geométricas em R³. Estudo do plano em Rⁿ. Vetores normais a planos em R³. Aplicações geométricas em R³.
Espaço linear de matrizes. Produto de matrizes. Matriz transposta. Matriz inversa de uma matriz quadrada. Matriz ortogonal. Característica de uma matriz.
Matrizes semelhantes. Matrizes de mudança de base.
Estudo dos determinantes. Método de condensação e Teorema de Laplace. Inversão de matrizes usando o determinante.
Estudo dos sistemas de equações lineares. Método de eliminação de Gauss. Regra de Cramer.
Transformações lineares. Núcleo e contradomínio. Operações algébricas com transformações lineares. Transformações lineares injetivas. Representação matricial de transformações lineares. Isomorfismo entre transformações lineares e matrizes.
Valores próprios e vetores próprios de transformações lineares. Polinómio característico. Condições para a existência de representação matricial diagonal de uma transformação linear.

Bibliografia Obrigatória

Howard Anton, Chris Rorres, Anton Kaul; Elementary Linear Algebra, Applications Version, 12th Edition, EMEA Edition, WILEY, 2019. ISBN: ISBN: 978-1-119-66614-1
José Augusto Trigo Barbosa; Noções sobre álgebra linear. ISBN: 978-972-752-142-5
José Augusto Trigo Barbosa; Noções sobre matrizes e sistemas de equações lineares. ISBN: 972-752-069-3 972-752-065-0
José Augusto Trigo Barbosa; Noções sobre Geometria Analítica e Análise Matemática, Efeitos Gráficos, 2018. ISBN: 978-989-99559-7-4

Bibliografia Complementar

Carlos Silva Ribeiro, Luizete Reis, Sérgio da Silva Reis; Álgebra linear. ISBN: 972-8298-82-X
António Monteiro, Gonçalo Pinto ; colab. de Catarina Marques; Álgebra linear e geometria analítica. ISBN: 972-8298-66-8
Gregório Luís, C. Silva Ribeiro ; prefácio de Bento J. F. Murteira; Álgebra linear. ISBN: 972-9241-05-8
Tom M. Apostol; Calculus. ISBN: 84-291-5001-3

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Nas aulas teóricas procede-se à exposição detalhada do programa da unidade curricular, procurando-se incentivar e motivar os estudantes; sempre que possível são apresentados exemplos simples de aplicação.
As aulas teórico-práticas são destinadas à análise e resolução de problemas, aplicando as ferramentas e os princípios matemáticos expostos nas aulas teóricas.
Serão disponibilizados exercícios e outros recursos no Moodle.

Software

Matlab

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Matemática aplicada > Matemática para a engenharia
Ciências Físicas > Matemática > Álgebra
Ciências Físicas > Matemática > Geometria

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Teste	100,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	85,00
Frequência das aulas	77,00
Total:	162,00

Obtenção de frequência

Para obter frequência o estudante deverá:
a) Cumprir o critério de assiduidade à unidade curricular, o que implica que o número limite de faltas (25% do número de aulas teórico-práticas previstas) não deve ser excedido, de acordo com o artigo 6º do Regulamento Específico de Avaliação de Discentes da FEUP;

Fórmula de cálculo da classificação final

Durante o processo de Avaliação Distribuída o estudante deverá realizar duas provas escritas, cada uma delas com a duração prevista de 2h. Cada prova é constituída por uma parte teórica, valendo cerca de 20% da sua cotação total, e por uma parte teórico-prática, valendo a cotação restante. A classificação final será a média das classificações obtidas nas duas provas realizadas.
Data prevista para a realização da primeira prova: (a definir)
Data prevista para a realização da segunda prova:  (a definir)

Os estudantes que, no final do processo de avaliação distribuída, obtiveram frequência mas não obtiveram aprovação à unidade curricular, poderão realizar uma prova de reavaliação, bastando comparecer no dia e hora marcados na(s) sala(s) entretanto indicada(s).
Os estudantes que, no final do processo de avaliação distribuída, obtiveram aprovação à unidade curricular e pretendem melhorar a classificação obtida, deverão efetuar a inscrição nos Serviços Académicos da FEUP (em recurso).
Em ambos os casos, a prova de reavaliação é global e com uma duração estimada de 2h +15min de tolerância.
Data prevista para a ralização da prova de reavaliação (recurso):  (a definir)


Durante as provas de avaliação não é permitido a consulta de qualquer tipo de formulário, telemóvel, smartphone, smartwatch, máquina de calcular, microcomputador ou similares.

Provas e trabalhos especiais

Não se aplica à presente unidade curricular.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Prova escrita a realizar em época especial de exame, de acordo com os números 8.1, 8.3 c) e 8.4 c) do artigo 8º do Regulamento Específico de Avaliação de Discentes da FEUP.

Melhoria de classificação

Prova escrita de melhoria de classificação a realizar de acordo com o artigo 11º do Regulamento Específico de Avaliação de Discentes da FEUP.