Análise Matemática III

Código:

EIG0045

Sigla:

AM III

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2018/2019 - 1S

Ativa?	Sim
Página Web:	http://www.fe.up.pt/smat
Unidade Responsável:	Secção de Matemática
Curso/CE Responsável:	Mestrado Integrado em Engenharia e Gestão Industrial

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
MIEGI	111	Plano de estudos oficial a partir de 2006/07	2	-	6	70	162

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Nesta unidade curricular pretende-se atingir os seguintes objectivos:
 - transmitir aos estudantes os conceitos e as  técnicas de integração de equações diferenciais ordinárias e de sistemas de equações diferenciais ordinárias e a sua aplicação a problemas, quer de natureza física quer de natureza geométrica;
- dotar os estudantes dos conhecimentos fundamentais de cálculo integral sobre curvas e sobre superfícies bem como a compreensão e aplicação dos teoremas de integrais da análise vetorial;
- os estudantes deverão ainda ficar habilitados a utilizar a representação de funções periódicas em séries de Fourier;
- os estudantes deverão conhecer as noções elementares para a resolução de algumas equações às derivadas parciais.

Resultados de aprendizagem e competências

Os estudantes devem ser capazes de :
 - identificar e resolver as equações diferenciais ordinárias leccionadas;
 - resolver sistemas de equações diferenciais lineares de 1ª ordem;
 - obter as transformadas de Laplace de funções reais de variável real positiva e aplicar as suas propriedades;
 - calcular integrais de linha e de superfície aprofundando para isso os seus conhecimentos de integrais duplos e triplos;
 - aplicar os teoremas da análise vetorial para integrais de linha e de superfície;
 - determinação da série de Fourier de uma função periódica;
 - aplicar  técnicas elementares para resolução de algumas equações diferenciais às derivadas parciais.

Modo de trabalho

Presencial

Programa

Equações Diferenciais - definição de solução geral e problemas de valor inicial e na fronteira. Equações Diferenciais de 1ª Ordem. Teorema de existência e unicidade da solução. Equações homogéneas e trajectórias ortogonais. Equações diferenciais exactas e factor integrante. Equações diferenciais lineares (solução geral como soma da solução geral da equação homogénea associada com uma qualquer solução particular da equação completa - método da variação da constante); equações redutíveis a lineares ( equações de Bernoulli e Riccati). Equações de 2ª ordem - equações redutíveis a 1ª ordem: caso I em que a variável dependente não aparece explicitamente na equação de 2ª ordem. Equações diferenciais lineares de ordem n : equações diferenciais lineares de ordem n homogéneas; equações diferenciais lineares de ordem n homogéneas de coeficientes constantes – espaço vectorial de soluções. Equações não homogéneas - método da variação das constantes ou método de Wronski para obtenção de uma qualquer solução particular destas equações.
Sistemas de equações diferenciais - conceitos básicos e exemplos . Sistemas de equações diferenciais lineares de 1ªordem e sua relação com as equações diferenciais lineares de ordem n. Sistemas de equações diferenciais lineares de 1ªordem de coeficientes constantes homogéneos: solução geral. Sistemas de equações diferenciais lineares de 1ªordem não homogéneos: método da variação das constantes.
Transformadas de Laplace - definição e condições de existência; 1º e 2º Teoremas da translação; inversa da transformada de Laplace; transformada de Laplace da derivada; teorema da convolução. Transformada de Laplace de funções descontínuas. Aplicação à integração de equações diferenciais de coeficientes constantes.
Integrais de linha: propriedades, técnicas de cálculo e aplicações. Curvas e parametrizações. Campos irrotacionais. Função potencial. Campos conservativos e independência do caminho.
Integrais de superfície: propriedades, técnicas de cálculo e aplicações
Operadores diferenciais: gradiente, divergência, rotacional, operadores compostos e Laplaciano. Teorema de Green, Teorema de Stokes e Teorema de Gauss: enunciado, demonstração e aplicações.
Séries de Fourier: funções periódicas, funções pares e ímpares, funções não periódicas e suas  expansões periódicas. Séries trigonométricas de funções periódicas e condições para a sua convergência e soma. Aproximação por polinómio trigonométrico e respetivo erro quadrático.
Equações às Derivadas Parciais - princípios fundamentais, solução, condições iniciais e de fronteira. Equações de 1ª ordem. Equações de 2ª ordem de coeficientes constantes. Métodos de determinação de soluções. Equação das ondas; aplicações. Equação do calor.

Bibliografia Obrigatória

Madureira, Luísa; Problemas de equações diferenciais ordinárias de Laplace. ISBN: 972-752-065-0
Madureira Maria Luísa Romariz Universidade do Porto. Faculdade de Engenharia; Problemas de integrais de linha e superfície e de séries de Fourier. ISBN: 978-989-99559-2-9
Kreyszig, Erwin; Advanced Engineering Mathematics. ISBN: 0-471-50729-6

Bibliografia Complementar

Wylie, C. Ray; Advanced engineering mathematics. ISBN: 0-07-066643-1
Apostol, Tom M.; Calculus

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

As aulas teóricas consistem em exposições orais apoiadas na projeção de slides. Nestas aulas a dedução ea  abstracção são consideradas fundamentais. No entanto serão sempre resolvidos exemplos.
Nas aulas práticas os alunos devem resolver exercícios propostos, sugeridos com antecedência, e baseados tanto nos textos como no livro de exercícios indicados. Haverá controle de presenças nas aulas práticas não podendo o aluno exceder o número de faltas previstas ( 25% das aulas previstas ), a indicar pelo Professor para cada turma prática . No caso de exceder o número de faltas indicado o aluno não terá frequência à disciplina e não poderá realizar qualquer exame desta disciplina, a menos que tenha um estatuto especial (consultar as normas pedagógicas e de avaliação da FEUP ).

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Participação presencial	0,00
Teste	100,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	90,00
Frequência das aulas	78,00
Total:	168,00

Obtenção de frequência

No caso de exceder o número de faltas às aulas práticas,indicado pelo respectivo Professor,o aluno não terá frequência à disciplina e não poderá realizar qualquer exame desta disciplina, a menos que tenha um estatuto especial (consultar as normas pedagógicas e de avaliação da FEUP ).

Fórmula de cálculo da classificação final

Classificação Final = 50% nota do primeiro teste + 50% nota do segundo teste.

Os alunos que não obtiverem aprovação através dos testes, poderão, no exame de recurso, repetir o primeiro teste ou o segundo. A nota a atribuir será a melhor, em cada dessas provas. Em alternativa poderão, no recurso, realizar uma prova final com toda a matéria.

A nota máxima de 20 valores será atribuída apenas com realização de uma prova oral.

Provas e trabalhos especiais

Não previsto

Trabalho de estágio/projeto

Não previsto

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Conforme as normas da FEUP

Melhoria de classificação

 Os alunos que obtiverem aprovação através dos testes, podem realizar a melhoria de classificação no exame de recurso numa prova final com toda a matéria.
Ressalva-se que a nota máxima, de 20 valores, será atribuída apenas com realização de uma prova oral.