Código: | EIG0050 | Sigla: | AMII |
Áreas Científicas | |
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Classificação | Área Científica |
OFICIAL | Matemática |
Ativa? | Sim |
Página Web: | http://sigarra.up.pt/feup/pt/ |
Unidade Responsável: | Secção de Matemática |
Curso/CE Responsável: | Mestrado Integrado em Engenharia e Gestão Industrial |
Sigla | Nº de Estudantes | Plano de Estudos | Anos Curriculares | Créditos UCN | Créditos ECTS | Horas de Contacto | Horas Totais |
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MIEGI | 84 | Plano de estudos oficial a partir de 2006/07 | 1 | - | 6 | 70 | 162 |
Adquirir conhecimentos teóricos e práticos, essenciais, sobre o cálculo diferencial e integral de funções reais e vectoriais de uma ou várias variáveis, e sobre algumas das suas aplicações.
No fim do período lectivo os estudantes devem ser capazes de:
1- Representar paramétricamente curvas em R2 e R3. Determinar o seu vector tangente e normal. Obter o comprimento de arco e a curvatura de uma curva. Calcular integrais de linha ao longo dessas curvas.
2- Discutir a continuidade de funções escalares de várias variáveis.
3 - Obter derivadas parciais e direccionais para campos escalares e campos vectoriais e construir o respetivo vector gradiente e a matriz jacobiana.
4 - Calcular derivadas de funções compostas, de campos escalares e vectoriais, bem como de funções definidas implicitamente.
5 - Obter máximos e mínimos livres de funções de duas ou três variáveis, bem como máximos e mínimos condicionados dessas funções, com uma ou duas restrições, pelo método dos multiplicadores de Lagrange.
6 - Calcular integrais duplos sobre regiões limitadas de R2, quer em coordenadas cartesianas quer em coordenadas polares.
7 - Calcular integrais triplos sobre regiões limitadas de R3, obter o volume dessas regiões por integração e transformar integrais triplos em coordenadas cartesianas para integrais em coordenadas cilíndricas e esféricas.
Conhecimentos adquiridos na unidade curricular de Análise Matemática I.
I - Funções vectoriais de uma variável real; representação paramétrica de uma curva em Rn. Limites, continuidade, derivação e integração de funções vectoriais . Aplicação ao estudo das curvas em Rn: vetores unitários da tangente, da normal principal e da binormal; triedro de Frenet. Aplicação ao estudo dos movimentos curvilíneos em R2 e R3: vetores velocidade e aceleração. Noção de comprimento de arco e função comprimento de arco. Parametrização relativamente ao comprimento de arco e conceito de curvatura.
II - Noções básicas para Funções de Rn em Rm : breves noções topológicas do espaço Rn; funções de Rn em R, sua definição, exemplos e alguns aspectos geométricos das respectivas representações gráficas; breve estudo de algumas superfícies. Conceitos de limite e continuidade e suas propeiedades. Limites e continuidade para funções vetoriais, de Rn em Rm.
III - Diferenciação de Funções de Rn em Rm: derivadas parciais e direccionais, derivadas parciais de ordem superior e Teorema de Schwarz; diferencial total e condições de diferenciabilidade; gradiente e matriz Jacobiana; regra de derivação da função composta para a composição de uma função vectorial com um campo escalar; aplicações geométricas do gradiente; conceito e determinação do plano tangente a uma superfície de nível; regras de derivação para outras composições de funções. Funções implícitas de uma ou mais variáveis : Teorema das funções implícitas e técnicas de derivação implícita. Fórmula de Taylor para funções reais de várias variáveis. Extremos livres : condições de 1ª e 2ª ordem. Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange.
IV - Integral de linha de campos escalares e de campos vectoriais ao longo de uma curva em Rn. Aplicação ao conceito de trabalho. Formulação diferencial dos integrais de linha.
V - Integral de Riemann em R2 : integrais sobre rectângulos em R2, definição, propriedades e interpretação geométrica; teorema de Fubini; integrais duplos sobre regiões mais gerais. Aplicações à geometria de massas. Mudança de variáveis em integrais duplos - aplicação às coordenadas polares. Integral de Riemann em R3: integrais sobre paralelepípedos em R3 , integrais triplos sobre regiões mais gerais; mudança de variáveis em integrais triplos - aplicação às coordenadas cilíndricas e às coordenadas esféricas.
Mudança genérica de variáveis em integrais duplos e triplos - justificação baseada em argumento geométrico. Exemplos.
A publicar nos conteúdos da unidade curricular no SIFEUP
Nas aulas teórico-práticas expõem-se as diferentas matérias com o apoio de projecção de "slides". Todos os conceitos e metodologias introduzidas são exemplificadas recorrendo à resolução de exercícios no quadro. Incentiva-se a participação dos estudantes quer através de questões, individuais ou em grupo, colocadas pelo Professor, bem como através da resolução de exemplos. Nas aulas práticas semanais serão propostos, para resolução pelos estudantes, alguns exercícios, constantes de um conjunto de folhas de exercícios que serão disponibilizadas nos conteúdos da unidade curricular, no SIFEUP. O Professor procurará esclarecer as dúvidas surgidas.
Designação | Peso (%) |
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Teste | 100,00 |
Total: | 100,00 |
Designação | Tempo (Horas) |
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Estudo autónomo | 97,00 |
Frequência das aulas | 65,00 |
Total: | 162,00 |
Não exceder o número limite de faltas nos termos do Artigo 8º do Regulamento Específico de Avaliação de Discentes da FEUP.
A avaliação desta unidade curricular (u.c.) será feita do seguinte modo: - 1º teste, T1, obrigatório, em data a comunicar aos estudantes; este teste terá um peso de 50% na nota final e corresponderá aproximadamente a metade do programa da u.c.; é exigida uma nota mínima de 8 valores (em 20); - 2º teste, T2, exclusivamente para estudantes que tiveram classificação em T1, igual ou superior a 8 valores (em 20), e que só incluirá a matéria posterior ao T1; este teste terá também um peso de 50% na nota final e é exigida também uma nota mínima de 8 valores (em 20); - exame final, EF, A EFECTUAR SIMULTANEAMENTE COM O 2º TESTE, e que terá de ser realizado OBRIGATORIAMENTE por aqueles estudantes que tenham obtido nota inferior a 8 valores em T1; no entanto, qualquer estudante poderá optar por realizar este exame em alternativa ao 2º teste; o EF inclui toda a matéria; - exame de recurso, ER, será realizado pelos estudantes que não tenham obtido nota mínima nalgum dos testes, T1 ou T2, ou que não tenham tido média de 10 valores nos dois testes ou no exame, e ainda para melhoria de classificação. Este exame também inclui toda a matéria. Todas as provas terão a duração de 2H:30min. A classificação final, CF, será assim obtida por: CF=(nota de T1+nota de T2)/2 desde que T1>=8 e T2>=8 ou CF=Nota de EF ou ainda CF=Nota de ER.
Não aplicável.
Não aplicável.
Realizada através de um exame, de acordo com os Artigos 10º e 14º do Regulamento Específico de Avaliação de Discentes da FEUP em vigor na FEUP.
Nos termos do Artigo 11º do Regulamento Específico de Avaliação de Discentes da FEUP. A melhoria da classificação, quando realizada na época de recurso do ano lectivo em curso, será feita através do exame de recurso.
Não aplicável.