Análise Matemática III

Código:

EQ0068

Sigla:

AM III

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Ciências Físicas (Matemática)

Ocorrência: 2016/2017 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Engenharia Química
Curso/CE Responsável:	Mestrado Integrado em Engenharia Química

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
MIEQ	91	Plano de estudos oficial	2	-	6	63	162

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Enquadramento:

A modelação teórica de fenómenos físico-químicos é uma componente importante da Engenharia Química, que assenta na construção e resolução de modelos matemáticos baseados em equações diferenciais.

Objetivos específicos:

- Aquisição de conhecimentos fundamentais na área da matemática, mais concrectamente na resolução analítica e numérica de equações diferenciais.

- Desenvolvimento de capacidades nas áreas de formulação, identificação e modelação de problemas de engenharia.

- Estímulo ao desenvolvimento do pensamento crítico e criativo na resolução de problemas de engenharia.

Conhecimentos prévios:

Noções básicas de análise matemática e álgebra: integração e diferenciação, números complexos, álgebra matricial, valores e vetores próprios.

Noções básicas de programação: estruturas de programação, indexação de variáveis. Distribuição percentual

Componente científica: 90 %

Componente tecnológica: 10 %

 

Resultados de aprendizagem e competências

Capacidade de resolução de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem e de ordem superior recorrendo a vários métodos analíticos e numéricos.

Capacidade de formulação e implementação de modelos matemáticos simples descrevendo fenómenos físico-químicos.

Capacidade de utilização de ferramentas computacionais para resolução numérica de equações diferenciais.

Modo de trabalho

Presencial

Programa

I) Resolução analítica de equações diferenciais

1. Introdução: Definições. Linearidade. Solução geral e solução particular. Existência e unicidade de solução.

2. Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem: Equações de variáveis separáveis. Equações redutíveis a variáveis separáveis por mudança de variável. Método do factor integrante. Equações exactas. Equações de Bernoulli

3. Equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem: Solução geral da equação linear homogénea. Obtenção de soluções particulares - Método d’Alembert (redução de ordem). Equações homogéneas de coeficientes constantes. Solução geral da equação linear não-homogénea. Método dos coeficientes indeterminados. Método da variação de parâmetros.

4. Transformada de Laplace Definição e propriedades: Transformada inversa. Função degrau unitário (Heaviside) e função impulso unitário (delta de Dirac). Aplicação na resolução de equações diferenciais ordinárias lineares.

5. Sistemas de equações diferenciais ordinárias lineares: Método de eliminação. Método da transformada de Laplace. Método matricial. Sistemas homogéneos. Sistemas não-homogéneos (método da variação de parâmetros).

6. Introdução às equações de derivadas parciais: Definições. Método de separação de variáveis. Método da transformada de Laplace.

 

II) Resolução numérica de equações diferenciais

Introdução à programação em Scilab. Problemas de valor inicial. Método de Euler. Métodos de Runge-Kutta. Análise do erro da resolução numérica. Resolução de sistemas de equações diferenciais. Utilização da função ode do Scilab. Problemas de valores fronteira. Método de tiro. Método de diferenças finitas. Rigidez numérica.

Bibliografia Obrigatória

Farlow, Stanley J.; An introduction to differential equations and their applications. ISBN: 0-07-113315-1
Chapra, Steven C.; Numerical Methods for Engineers. ISBN: 0-07-079984-9

Bibliografia Complementar

Kreyszig, Erwin; Advanced Engineering Mathematics. ISBN: 0-471-50729-6

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Exposição de conceitos teóricos e discussão de exemplos práticos de aplicação durante as aulas. Maximização da interacção com os etudantes durante as aulas. O lecionamento da componente de métodos numéricos será efetuado integralmente em salas de computadores. Realização de mini-testes de avaliação ao longo do semestre, de forma a estimular e monitorizar o processo de aquisição de conhecimentos e competências por parte dos estudantes durante esse período.

Software

Scilab

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Análise matemática > Equações diferenciais
Ciências Físicas > Matemática > Matemática aplicada > Análise numérica
Ciências Físicas > Matemática > Matemática aplicada > Matemática para a engenharia

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	75,00
Teste	25,00
Total:	100,00

Obtenção de frequência

Obtêm frequência os alunos inscritos que obtenham uma nota mínima de 6 na componente de avaliação distribuída (AD).

Estudantes sem frequência no ano corrente ou sem frequência em anos anteriores não poderão comparecer ao exame de Época Normal.

Estudantes que entrem diretamente para o 2º Ciclo de Estudos e não obtenham equivalência a esta UC estão dispensados da restrição anterior, obtendo frequência pela comparência a exame.

Estudantes que não obtenham uma nota mínima de 6 na componente de avaliação distribuída poderão comparecer ao exame da Época de Recurso, obtendo assim frequência à UC.

Fórmula de cálculo da classificação final

A classificação final (CF) é calculada de acordo com a seguinte fórmula:

CF = max(0.25 x AD + 0.75 x EF, EF)

Em que:

AD (avaliação distribuída) = 1/3 x (2 melhores notas dos 3 mini-testes de matemática analítica + nota do mini-teste de métodos numéricos)

EF = nota do exame final (80% componente de matemática analítica e 20% componente de métodos numéricos)

Condições para obtenção de aprovação:

• Nota mínima de 6 na componente de avaliação distribuída (AD).
• Nota mínima de 6 em cada uma das duas partes do exame final (matemática analítica e métodos numéricos). 

A realização dos mini-testes é obrigatória para os estudantes sem frequência anterior. Em caso de falta a um mini-teste, a sua repetição em data a determinar só será possível após avaliação da justificação devidamente fundamentada.

Estudantes que entrem diretamente para o 2º Ciclo de Estudos e não obtenham equivalência a esta UC poderão optar por não realizar os mini-testes.

Não é mantida a nota de avaliação distribuída de anos anteriores. A realização dos mini-testes é opcional para estudantes com frequência anterior. Caso pretendam realizá-los, os estudantes deverão informar o docente na primeira semana de aulas, ficando dessa forma vinculados à nova avaliação distribuída.

Os estudantes com frequência anterior que optem por não realizar os mini-testes terão como classificação final a nota do exame.

No exame da Época de Recurso, a classificação final dos estudantes que tenham realizado os mini-testes consistirá no resultado da fórmula acima ou na nota do exame, conforme a opção que conduza ao melhor resultado. Para os restantes, a classificação final consistirá apenas na nota do exame.

Melhoria de classificação

A prova de melhoria de classificação (componentes de avaliação distribuída e exame final) terá lugar no exame da Época de Recurso. A classificação final dos estudantes que tenham realizado os mini-testes consistirá no resultado da fórmula acima ou na nota do exame, conforme a opção que resulte num melhor resultado. Para os restantes, a classificação final consistirá apenas na nota do exame.