Matemática III

Código:

EBE0013

Sigla:

MAT3

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Ciências de Base

Ocorrência: 2016/2017 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Secção de Matemática
Curso/CE Responsável:	Mestrado Integrado em Bioengenharia

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
MIB	76	Plano de estudos oficial	2	-	6	56	162

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Introdução de conceitos teóricos e de técnicas de integração dos principais tipos de equações diferenciais ordinárias e de sistemas de equações diferenciais ordinárias, bem como a sua aplicação à resolução de alguns problemas simples. São ainda objectivos desta unidade curricular o estudo e análise da convergência de séries, numéricas e de funções, e a obtenção de séries de Fourier e de transformadas de Laplace.

Resultados de aprendizagem e competências

 

No final desta unidade curricular o estudante deve ser capaz de:

1.Classificar e resolver e.d.o. de 1ª ordem

2. Resolver e.d.o. lineares de ordem superior a um

3. Resolver sistemas de equações diferenciais de 1ª ordem.

4. Analisar a convergência de algumas séries numéricas.

5. Determinar o intervalo de convergência de séries de potências.

6.Obter séries de Fourier de funções periódicas.

7. Obter algumas transformadas de Laplace.

8.Aplicar as transformadas de Laplace à resolução de e.d.o.

9. Obter modelos com equações diferenciais para resolver problemas simples.

 

Modo de trabalho

Presencial

Programa

I - Equações diferenciais ordinárias. Problemas de valor inicial e problemas de valor na fronteira. II - Equações diferenciais de 1ª ordem resolvidas em ordem à derivada. Teorema de existência e unicidade da solução. Equações de variáveis separáveis. Equação diferencial linear de 1ª ordem e equação de Bernoulli. Problemas que conduzem a equações diferenciais de 1ª ordem. III - Equações diferenciais de ordem n. Casos de redução de ordem. Equações lineares homogéneas e não homogéneas. Espaço vectorial das soluções da equação homogénea. Equações diferenciais homogéneas de coeficientes constantes. Base de soluções quando a equação característica tem n raízes reais distintas, n raízes reais múltiplas e no caso de raízes complexas. Equações diferenciais lineares não homogéneas. Determinação da solução pelo método da variação das constantes. Problemas que conduzem a equações diferenciais de ordem superior a um. IV -Séries numéricas: definição e propriedades. Séries telescópicas e geométricas. Condição necessária para a convergência de uma série. Critérios de convergência para séries de termos positivos: critérios da comparação. Critérios da raiz (ou de Cauchy) e do quociente (ou d’Alembert). Convergência absoluta e relativa. Séries alternadas: definição e critério de Leibniz. Sucessões de funções:definição de limite e exemplos. Séries de funções: domínio de convergência e soma. O caso especial das séries de potências: convergência das séries de potências. Conceitos de intervalo de convergência e raio de convergência. Séries de Taylor como limite dos polinómios de Taylor. Exemplos. Séries de Fourier. Definição e cálculo dos coeficientes. Fórmulas de Euler. Aplicações às funções pares e ímpares. Exemplos. V - Sistemas de equações diferenciais: introdução, exemplos de problemas traduzidos por sistemas. Sistemas lineares, teorema de existência e unicidade. Sistemas homogéneos e não homogéneos. Espaço vectorial de soluções dum sistema homogéneo. Soluções de sistemas de n equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Estudo dos valores e vectores próprios da matriz de coeficientes: Caso de existência de uma base de vectores próprios. Sistemas de equações diferenciais não homogéneos de coeficientes constantes. Método da variação das constantes. Solução de um sistema usando a exponencial de uma matriz. V I - Transformada de Laplace: definição e condições de existência. Cálculo da transformada de algumas funções, usando a a definição. Inversa da Transformada de Laplace. Linearidade da transformada de Laplace e da sua inversa; exemplos. Transformada de Laplace da derivada e aplicação às equações diferenciais. Primeiro Teorema da translação ou translação em s. Função de Heaviside e funções nulas fora de um intervalo. Segundo teorema da translação ou translação em t. Convolução de duas funções. Teorema da convolução. Estudo da "função" Delta de Dirac. Sua transformada de Laplace. Aplicação da Transformada de Laplace à resolução de equações diferenciais e de sistemas de equações diferenciais.

Bibliografia Obrigatória

Teresa Arede; Apontamentos de Matemática III disponibilizados pelo docente na página da U.C. (http://sigarra.up.pt/feup/pt/conteudos_geral.ver?pct_pag_id=249640&pct_parametros=pv_ocorrencia_id=334376)
C. Henry Edwards, David E. Penney; Differential Equations. ISBN: 0-13-067337-4
Larson, Hostetler, Edwards; Cálculo, vol 1 e 2, 8ª ed., McGraw-Hill, 2006

Bibliografia Complementar

Madureira, Luísa; Problemas de equações diferenciais ordinárias de Laplace. ISBN: 972-752-065-0
Kreyszig, Erwin; Advanced Engineering Mathematics. ISBN: 0-471-33328-X

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Sendo as aulas de índole teórico-prática, haverá períodos de exposição da matéria teórica, com exemplos resolvidos, seguidos de períodos de problemas propostos para resolução individual, acompanhada pelo professor. A exposição teórica será feita tanto no quadro como recorrendo à projecção de slides. Tanto a exposição teórica como os exercícios práticos serão apoiados em apontamentos e exercícios fornecidos aos estudantes.

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	50,00
Teste	50,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	158,00
Frequência das aulas	56,00
Total:	214,00

Obtenção de frequência

Nos termos das normas gerais de avaliação um estudante obterá frequência se o número de faltas às aulas não exceder 25% das aulas previstas. 

Fórmula de cálculo da classificação final

A avaliação desta unidade curricular será feita do seguinte modo: - 1º teste, T1, obrigatório, sensivelmente a meio do semestre, em data a comunicar aos estudantes; - 2º teste, T2, exclusivamente para estudantes que tiveram classificação em T1, igual ou superior a 10 valores (em 20), e que só incluirá a matéria posterior ao T1; os dois testes têm o mesmo peso - exame final, EF, a decorrer em simultâneo com o 2º teste, e que terá de ser realizado obrigatoriamente por quem tenha obtido nota inferior a 10 valores em T1; no entanto, qualquer estudante poderá optar por realizar este exame em alternativa ao 2º teste; o EF inclui toda a matéria - exame de recurso, ER, será realizado pelos estudantes que não tenham sido aprovados na unidade curricular por nenhum outro processo e ainda para melhoria de classificação. A classificação final, CF, será assim obtida por: CF=(nota de T1+nota de T2)/2 ou CF=Nota de EF ou ainda CF=Nota de ER

Provas e trabalhos especiais

Durante o semestre serão propostos exercícios para resolução individual, fora das aulas e por escrito. A entrega desses exercícios, convenientemente resolvidos, dará lugar a uma informação positiva sobre o empenho do estudante relativamente a esta unidade curricular. No decurso das aulas os estudantes poderão ser chamados a responder a algumas questões de índole teórica ou prática. Este facto dará também lugar a uma informação sobre o empenho do estudantes relativamente a esta unidade curricular.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Nos termos das normas gerais de avaliação.

Melhoria de classificação

No exame de recurso.