Análise Matemática II

Código:

EQ0063

Sigla:

AM II

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Ciências Físicas (Matemática)

Ocorrência: 2015/2016 - 2S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Engenharia Química
Curso/CE Responsável:	Mestrado Integrado em Engenharia Química

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
MIEQ	100	Plano de estudos oficial	1	-	6	56	162

Língua de trabalho

Português

Objetivos

1. CONTEXTO: A Geometria Analítica e a extensão do Cálculo para funções de várias variáveis (introduzindo os conceitos de derivadas parciais e integrais múltiplos) são ferramentas importantes em cálculos de engenharia. Tópicos de Análise Vetorial inclui teoremas importantes (de Green, da divergência e de Stokes) que são uma base indispensável para a compreensão de importantes princípios de engenharia

2. OBJETIVOS: - Compreensão de diferentes sistemas de coordenadas; - I;entificação, e representação, de curvas e superfícies no espaço 3D; - Saber calcular as derivadas parciais de funções de várias variáveis, assim como as suas aplicações práticas importantes (cálculo de máximos e minimos); - Saber efectuar o cálculo de integrais múltiplos, e suas importantes aplicações (em particular, o cálculo de áreas e volumes); - Saber calcular integrais de linha e integrais de superfície, assim como compreender as suas aplicações práticas;

3. DISTRIBUIÇÃO PERCENTUAL: Componente científica 80%; Componente tecnológica 20%.

Resultados de aprendizagem e competências

Depois deste curso, o estudante saberá (ou será capaz de):

- Usar coordenadas polares, cilíndricas e esféricas;

- Representar curvas (assim como a sua projeção sobre os planos coordenados) e superfícies no espaço 3D;

- Calcular derivadas parciais de funções de várias variáveis (sejamfunções compostas ou implícitas);

- Determinar extremos, condicionados ou não, de funções de várias variáveis;

- Calcular áreas e volumes (entre outras aplicações) de regiões do plano e do espaço 3D usando integrais duplos e triplos, em coordenadas retangulares, cilíndricas ou esféricas;

- Calcular o trabalho realizado por um campo vetorial ou o seu fluxo através de uma superfície usano integrais de linha e integrais de superfície.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

 

EQ0059: Cálculo diferencial e integral; Integrai definidos;

EQ0058: Álgebra vetorial.

Programa

1. COORDENADAS POLARES. CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO Coordenadas polares no plano. Área em coordenadas polares. Curvas paramétricas no plano. Funções definidas por equações paramétricas: sua derivação e integração. 2. CURVAS E SUPERFÍCIES NO ESPAÇO. FUNÇÕES VETORIAIS Superfícies no espaço a três dimensões. Coordenadas cilíndricas e esféricas no espaço a três dimensões. Representação analítica de curvas no espaço a três dimensões. Funções (com valores) vetoriais: sua derivação e integração. 3. INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Funções de duas variáveis. Funções de três variáveis. 4. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS Derivadas parciais. Diferencial de funções de duas ou mais variáveis. Derivação de funções compostas de duas ou mais variáveis. Funções implícitas e a sua derivação. Máximos e mínimos de funções de duas ou mais variáveis. Derivada direcional e gradiente. Máximos e/ou mínimos com restrições: método dos multiplicadores de Lagrange. 5. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS: INTEGRAIS MÚLTIPLOS Integrais duplos em domínios rectangulares de RxR. Integrais duplos em domínios limitados arbitrários de RxR. Aplicações de integrais duplos. Integrais duplos em coordenadas polares. Superfícies paramétricas e área superficial. Integrais triplos em domínios limitados arbitrários do espaço tridimensional. Aplicações de integrais triplos. Integrais triplos em coordenadas cilíndricas e esféricas. Integrais múltiplos impróprios. 6. TÓPICOS DE ANÁLISE VETORIAL Integrais de linha: sua definição e avaliação. Integrais de linha e campos vetoriais. Campos conservativos. Teorema de Green no plano. Integrais de superfície: sua definição e avaliação. Integrais de superfície e campos vetoriais. Fluxo de um campo vetorial. Teoremas de Gauss e de Stokes.

Bibliografia Obrigatória

Anton, Howard; Calculus. ISBN: 0-471-48237-4

Bibliografia Complementar

Ron Larson, Robert P. Hostetler, Bruce H. Edwards; Cálculo. ISBN: 85-86804-56-8 (vol. 1)
J. M. Mendonça; Matemática II, 2008

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Aulas teóricas-práticas de exposição da matéria teórica, com resolução de exemplos. Aulas práticas dedicadas principalmente à resolução de problemas de aplicação da matéria dada nas aulas teórico-práticas.

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Análise matemática > Funções
Ciências Físicas > Matemática > Análise matemática

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	65,00
Teste	35,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	110,00
Frequência das aulas	52,00
Total:	162,00

Obtenção de frequência

Será dada frequência na disciplina aos estudantes que: i) Não tenham excedido injustificadamente o limite de faltas às aulas (25% do número total de aulas teórico-práticas ou 25% das aulas práticas). Estudantes com frequência no ano letivo imediatamente anterior estão dispensados das aulas; ii) Tenham obtido frequência no ano letivo imediatamente anterior; Estes estudantes estão dispensados da frequência das aulas e da realização de minitestes; iii) Tenham uma nota de frequência, NF, não inferior a 5 (numa escala de 0 a 20); iv) Situações especiais, como estudantes que se encontrem ao abrigo de algum estatuto especial (TE, DA, etc). A nota de frequência, NF, é a média das duas notas, T1 e T2, dos 2 minitestes: NF = 0.5*(T1+T2); Observações: - A nota de frequência, NF, é obrigatória para todos os estudantes. Os que têm frequência no ano letivo imediatamente anterio podem optar por melhorar a sua NF ou por concorrer a exame sem esta nota; - Apenas os estudantes com frequência têm acesso aos exames de Época Normal e/ou Recurso.

Fórmula de cálculo da classificação final

A classificação final (CF) será calculada segundo a fórmula: se NF > NEF : CF= 0.35 NF + 0.65 NEF ; se NF <= NEF: CF= NEF. NF é a nota de frequência e NEF é a nota do exame final, Época Normal ou Recurso.

Provas e trabalhos especiais

Não aplicável.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Mediante exame nas épocas apropriadas.

Melhoria de classificação

Mediante exame nas épocas apropriadas. (Para efeito de melhoria de classificação, as notas obtidas nos minitestes não serão consideradas no cálculo da classificação final).