Análise Matemática III

Código:

EQ0068

Sigla:

AM III

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Ciências Físicas (Matemática)

Ocorrência: 2013/2014 - 1S (de 01-09-2013 a 31-07-2014)

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Engenharia Química
Curso/CE Responsável:	Mestrado Integrado em Engenharia Química

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
MIEQ	93	Plano de estudos oficial	2	-	6	63	162

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Enquadramento:

A modelação teórica de fenómenos físico-químicos é uma componente importante da Engenharia Química, que assenta na construção e resolução de modelos matemáticos baseados em equações diferenciais.

Objetivos específicos:

- Aquisição de conhecimentos fundamentais na área da matemática, mais concrectamente na resolução analítica e numérica de equações diferenciais.

- Desenvolvimento de capacidades nas áreas de formulação, identificação e modelação de problemas de engenharia.

- Estímulo ao desenvolvimento do pensamento crítico e criativo na resolução de problemas de engenharia.

Conhecimentos prévios:

Noções básicas de análise matemática e álgebra: integração e diferenciação, números complexos, álgebra matricial, valores e vetores próprios.

Noções básicas de programação: estruturas de programação, indexação de variáveis. Distribuição percentual

Componente científica: 90 %

Componente tecnológica: 10 %

 

Resultados de aprendizagem e competências

Capacidade de resolução de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem e de ordem superior recorrendo a vários métodos analíticos e numéricos.

Capacidade de formulação e implementação de modelos matemáticos simples descrevendo fenómenos físico-químicos.

Capacidade de utilização de ferramentas computacionais para resolução numérica de equações diferenciais.

Modo de trabalho

Presencial

Programa

I) Resolução analítica de equações diferenciais

1. Introdução: Definições. Linearidade. Solução geral e solução particular. Existência e unicidade de solução.

2. Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem: Equações de variáveis separáveis. Equações redutíveis a variáveis separáveis por mudança de variável. Método do factor integrante. Equações exactas. Equações de Bernoulli

3. Equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem: Solução geral da equação linear homogénea. Obtenção de soluções particulares - Método d’Alembert (redução de ordem). Equações homogéneas de coeficientes constantes. Solução geral da equação linear não-homogénea. Método dos coeficientes indeterminados. Método da variação de parâmetros.

4. Transformada de Laplace Definição e propriedades: Transformada inversa. Função degrau unitário (Heaviside) e função impulso unitário (delta de Dirac). Aplicação na resolução de equações diferenciais ordinárias lineares.

5. Sistemas de equações diferenciais ordinárias lineares: Método de eliminação. Método da transformada de Laplace. Método matricial. Sistemas homogéneos. Sistemas não-homogéneos (método da variação de parâmetros).

6. Introdução às equações de derivadas parciais.

 

II) Resolução numérica de equações diferenciais

Introdução à programação em Matlab. Problemas de valor inicial. Método de Euler. Métodos de Runge-Kutta. Análise do erro da resolução numérica. Resolução de sistemas de equações diferenciais. Utilização da rotina ODE45 do Matlab. Problemas de valores fronteira. Método de tiro. Método de diferenças finitas. Rigidez numérica.

Bibliografia Obrigatória

Farlow, Stanley J.; An introduction to differential equations and their applications. ISBN: 0-07-113315-1
Chapra, Steven C.; Numerical Methods for Engineers. ISBN: 0-07-079984-9

Bibliografia Complementar

Kreyszig, Erwin; Advanced Engineering Mathematics. ISBN: 0-471-50729-6

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Exposição de conceitos teóricos e discussão de exemplos práticos de aplicação durante as aulas. Maximização da interacção com os etudantes durante as aulas. O lecionamento da componente de métodos numéricos será efetuado integralmente em salas de computadores. Realização de mini-testes de avaliação ao longo do semestre, de forma a estimular e monitorizar o processo de aquisição de conhecimentos e competências por parte dos estudantes durante esse período.

Software

Matlab

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Matemática aplicada > Análise numérica
Ciências Físicas > Matemática > Análise matemática > Equações diferenciais
Ciências Físicas > Matemática > Matemática aplicada > Matemática para a engenharia

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	75,00
Teste	25,00
Total:	100,00

Obtenção de frequência

Obtêm frequência os alunos inscritos que obtenham uma nota mínima de 6 na componente de avaliação distribuída (AD).

Fórmula de cálculo da classificação final

A classificação final (CF) é calculada de acordo com a seguinte fórmula:

CF = max(0.25*AD + 0.75*EF, EF)

Em que:

AD (avaliação distribuída) = 0.5*(média das 2 melhores notas dos 3 mini-testes de matemática analítica + nota do mini-teste de métodos numéricos)

EF = nota do exame final

Condições para obtenção de aprovação:

• Nota mínima de 6 na componente de avaliação distribuída (AD).
• Nota mínima de 6 no exame final e na componente  de métodos numéricos do exame final. 

A realização dos mini-testes é obrigatória para os estudantes sem frequência anterior. Em caso de falta a um mini-teste, a sua repetição em data a determinar só será possível após avaliação da justificação devidamente fundamentada.

Não é mantida a nota de avaliação distribuída de aos anteriores. A realização dos mini-testes é opcional para estudantes com frequência anterior. Caso pretendam realizá-los, os estudantes deverão informar o docente na primeira semana de aulas, ficando dessa forma vinculados à nova valiaçao distribuída.

Melhoria de classificação

A prova de melhoria de classificação (componentes de avaliação distribuída e exame final) terá lugar no exame de recurso. A fórmula de cálculo é idêntica à da classificação final enunciada atrás.