Análise Numérica

Código:

EM0016

Sigla:

AN

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2010/2011 - 2S

Ativa?	Sim
Página Web:	http://moodle.up.pt/
Página e-learning:	http://moodle.up.pt/
Unidade Responsável:	Secção de Matemática
Curso/CE Responsável:	Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
MIEIG	80	Plano de estudos oficial a partir de 2006/07	2	-	6	56	160

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Gerais:
Conhecer os métodos de resolução numérica mais aplicáveis e mais eficientes, para cada problema base de Análise Numérica, bem como as condições de aplicabilidade e teoremas de convergência destes métodos.
Espera-se que executem testes de aplicação prática em computador, discutindo os resultados obtidos, e que através da programação de alguns desses métodos em Matlab apesar de eventualmente xistirem programas de biblioteca, adquiram prática de programação numérica.

Específicos:
Para cada capítulo do programa
os alunos devem ser capazes de listar as condições de aplicabilidade dos métodos e enunciar os respectivos teoremas de convergência;
devem ser capazes de aplicar os métodos, fórmulas e algoritmos dados, a problemas concretos simples;
devem ser capazes de descrever o funcionamento dos métodos dados, traduzi-los em algoritmos e subprogramas (Functions) em Matlab e testá-los sobre exemplos, comparando e analisando os resultados;
devem ser capazes de explicar as demonstrações dos teoremas dados, e aplicar as técnicas ai dscritas a outras situações relacionadas.
Devem ser capazes de resolver problemas novos com as ferramentas numéricas dadas e comparar o desempenho de vários métodos numéricos quando á velocidade e fiabilidade.

Programa

Cap. 1 Erros de arredondamento e sua propagação; possível instabilidade dos métodos numéricos; origem dos erros de arredondamento, sistemas de numeração em computadores: sistemas de vírgula fixa e flutuante.

Cap. 2 Sistemas de equações lineares: método de eliminação de Gauss. Erros de arredondamento e possível instabilidade dos métodos numéricos; técnicas pivotagem. Resolução de sistemas tringulares. Sistemas tridiagonais.Factorização LU. Aplicação ao cálculo de determinantes e da inversa de uma matriz.
Métodos iterativos: Jacobi, Gauss-Seidel e SOR, teoremas de convergência. Definição de erro de truncatura, estimativa dos erros de truncatura dos métodos anteriores.

Cap. 3 Aproximação polinomial no sentido dos mínimos quadrados; polinómios ortogonais. Sistemas de equações lineares sobredeterminados.

Cap. 4 Equações não lineares: condições gerais para a resolução, critérios de paragem dos métodos iterativos; métodos de cálculo: bissecções, Newton, secante, iterativo simples (ponto fixo). Teoremas de convergência, estimativa e majoração dos erros de truncatura ordem de convergência.

Cap. 5 Interpolação polinomial: diferenças divididas; métodos de Newton e de Lagrange; erro de interpolação.

Cap. 6 Integração Numérica: fórmulas de Newton-Cotes (ex: Trapézios e Simpson); fórmulas compostas; erros de integração numérica. Quadratura de Gauss.

Cap. 7 Equações diferenciais ordinárias: método de Euler para equações diferenciais de 1ª ordem. Métodos de Taylor. Ordem de um método de resolução de equações diferenciais de 1ª ordem. Métodos de Runge-Kutta de ordem 2 e de ordem 4.

Trabalhos práticos feitos nas aulas, em computador (usando o sistema operativo WINDOWS ou UNIX e a linguagem MATLAB)

Bibliografia Obrigatória

Cleve Moler; Numerical Computing with Matlab , SIAM , 2004
John Mathews; Kurtis Fink ; Numerical Methods using Matlab , Prentice Hall , 1999
Maria Raquel Valença ; Análise Numérica, Universidade Aberta, 1996. ISBN: 9726741955
Heitor Pina ; Métodos numéricos , McGraw Hill , 1995
Maria Raquel Valença ; Métodos Numéricos , Livraria do Minho , 1993

Bibliografia Complementar

Mário Graça, Pedro Lima; Matemática Experimental, IST Press, 2006. ISBN: 972-8469-52-7
Rosário, Pedro ; Núnez, José ; Pienda, Júlio ; Comprometer-se com o estudar na universidade : cartas do Gervásio ao seu umbigo, Livraria Almedina, , 2006

Observações Bibliográficas

e-learning em
http://moodle.up.pt

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

As exposições teóricas, apresentadas em “Powerpoint” são fortemente baseadas na Análise e Álgebra e são acompanhadas, sempre que possível, de exemplos práticos motivadores e são sugeridos outros exemplos, a testar em computador, para verem o comportamento prático, que será explicado à luz da teoria aprendida. Nas aulas práticas os alunos realizam pequenos projectos orientados pelos professores, em salas equipadas com computadores e software adequado. Fora das aulas, os alunos desenvolverão projectos de programação de média complexidade em Matlab.

Software

Matlab

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Descrição	Tipo	Tempo (Horas)	Peso (%)	Data Conclusão
Participação presencial (estimativa)	Participação presencial	56,00
Teste escrito	Exame	2,00
Exame Escrito Final	Exame	3,00
Desenvolvimento de Projectos de Programação Numérica em Matlab	Trabalho escrito	36,00
	Total:	-	0,00

Componentes de Ocupação

Descrição	Tipo	Tempo (Horas)	Data Conclusão
Consolidação dos conhecimentos dados nas aulas teóricas	Estudo autónomo	25
Preparação do exame - revisões	Estudo autónomo	20
Resolução de outros exercícios sobre as matérias dadas nas aulas práticas.	Estudo autónomo	20
	Total:	65,00

Obtenção de frequência

Estar regularmente inscrito, não ultrapassar o número de faltas previsto na lei .

Fórmula de cálculo da classificação final

NT = nota do teste, Nex = nota do exame, NF =nota final, NDO= nota depois da oral, Nprov=nota final provisória.

Nprov=0,75xNEx+0,25xNT,
Se Nprov <=16 então NF=Nprov senão NF=max(16, NDO)
Se Nprov <10 e NE>=10 então NF=10.

O cálculo da classificação final na época de recurso é igual ao da época normal.
O teste não é passível de recurso, pois o seu objectivo é incentivar os alunos a irem acompanhando a matéria com estudo, desde o início. Mas os alunos podem requerer que o exame conte 100% mediante prova de terem faltado por motivo justificado.

Provas e trabalhos especiais

Os alunos farão pequenos projectos de computador que não contam directamente para a nota. Farão tambem testes destinados a autoavaliação, na plataforma de e-learning Moodle do GATIUP.
Para classificação farão um teste, e um exame, que incluirão perguntas sobre os conhecimentos adquiridos nesses projectos e autotestes.
O exame tem uma parte escrita e uma parte oral à qual só têm acesso aos alunos com mais de 16 valores na parte escrita.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Apenas exame final.

Os alunos Trabalhadores Estudantes, DA, ... que façam exame na época normal ou na época de recurso deste ano e não tenham feito teste serão avaliados apenas pelo exame final.

Entre os casos que o cabeçalho da ficha da disciplina refere por ... , incluem-se os alunos que virão fazer exame ao abrigo de frequência do ano anterior, sem terem frequentado a disciplina este ano.

Melhoria de classificação

Apenas exame final.

Para os alunos deste ano que peçam melhoria de nota na época de recurso deste ano, a nota será calculada como na época normal (tendo em conta o teste) excepto se requererem o contrário.

Observações

e-learning em
http://moodle.up.pt/