Álgebra Linear e Geometria Analítica

Código:

EM0005

Sigla:

ALGA

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2010/2011 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Secção de Matemática
Curso/CE Responsável:	Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
MIEIG	90	Plano de estudos oficial a partir de 2006/07	1	-	6	84	160
MIEM	221	Plano de estudos oficial a partir de 2006/07	1	-	6	84	160

Língua de trabalho

Português

Objetivos

CONTEXTO:
Esta unidade curricular tem dois objectivos fundamentais: por um lado, tratando-se de uma unidade curricular propedêutica tem um carácter didáctico/científico, promovendo o desenvolvimento do raciocínio lógico e de métodos de análise e, por outro, visa introduzir e desenvolver em termos teóricos um conjunto de conceitos que serão ferramentas essenciais para apoio às unidades curriculares mais específicas dos diferentes ramos da Engenharia leccionados no DEMec.

OBJECTIVOS ESPECÍFICOS:
Esta unidade curricular tem o objectivo de introduzir os conceitos fundamentais sobre Álgebra Linear, Álgebra Vectorial e Geometria Analítica, que são essenciais para a formação matemática de um estudante de Engenharia.

CONHECIMENTOS PRÉVIOS:
O estudante deverá ter conhecimentos básicos sobre trigonometria, funções reais a uma variável real, geometria analítica plana, sistemas de equações lineares e lógica.

DISTRIBUIÇÃO PERCENTUAL:
Componente científica: 100%

RESULTADOS ESPERADOS:
No final do período lectivo os estudantes devem ser capazes de:
1) Conhecer as operações algébricas com vectores, suas propriedades e saber aplicá-las.
2) Definir espaço vectorial, subespaço vectorial e espaço euclideano.
3) Definir combinação linear de vectores, independência/dependência linear de vectores e subespaço gerado por um conjunto de vectores.
4) Definir e determinar uma base e a dimensão de um espaço vectorial; obter as componentes de um vector em relação a uma base.
5) Definir recta e plano, conhecer as suas propriedades e saber representá-los através de expressões matemáticas adequadas.
6) Resolver problemas com rectas e planos envolvendo distâncias, ângulos e ser capaz de identificar as suas posições relativas no espaço.
7) Conhecer as operações básicas com matrizes, suas propriedades e saber operar com elas.
8) Definir e determinar a característica de uma matriz.
9) Definir matriz não singular, conhecer as propriedades da matriz inversa e saber determiná-la.
10) Definir o determinante de uma matriz, conhecer as suas propriedades e saber determiná-lo.
11) Analisar e resolver sistemas de equações lineares.
12) Definir uma transformação linear, calcular e caracterizar o seu núcleo e contradomínio, conhecer as suas operações algébricas, saber em que condições ela é injectiva e, neste caso, definir e calcular a sua transformação inversa.
13) Recorrer à matriz para representar uma transformação linear e operar com transformações lineares recorrendo à álgebra matricial.
14) Definir matriz mudança de base e aplicá-la a problemas de mudanças de base envolvendo elementos de um espaço vectorial e transformações lineares.
15) Definir matrizes semelhantes e conhecer as suas propriedades.
16) Calcular valores próprios e vectores próprios de transformações lineares, conhecer as suas propriedades e identificar, no caso de ser possível, uma representação matricial diagonal para a transformação linear.

Programa

Introdução à Álgebra vectorial. Operações algébricas com vectores: adição e produto de um vector por um escalar.

Definição de espaço linear (vectorial). Subespaços vectoriais. Independência e dependência linear. Bases e dimensão. Componentes.

Produto interno. Espaços Euclideanos. Norma. Ortogonalidade.

Geometria analítica. Estudo da recta em Rn. Aplicações geométrica em R3. Estudo do plano em Rn. Vectores normais a planos em R3. Produto vectorial e produto misto. Aplicações geométricas em R3.

Espaço linear de matrizes. Produto de matrizes. Matriz transposta. Matriz inversa de uma matriz quadrada. Matriz ortogonal. Característica de uma matriz.

Matrizes semelhantes. Matrizes de mudança de base.

Estudo dos determinantes. Método de condensação e Teorema de Laplace. Inversão de matrizes usando o determinante.

Estudo dos sistemas de equações lineares. Método de eliminação de Gauss. Regra de Cramer.

Transformações lineares. Núcleo e contradomínio. Operações algébricas com transformações lineares. Transformações lineares injectivas. Representação matricial de transformações lineares. Isomorfismo entre transformações lineares e matrizes.

Valores próprios e vectores próprios de transformações lineares. Polinómio característico. Condição necessária e suficiente para a existência de representação matricial diagonal de uma transformação linear. Aplicação às transformações lineares simétricas.

Bibliografia Obrigatória

J.A. Trigo Barbosa; ; ALGA - Apontamentos Teórico-Práticos , N (Obra a adquirir na reprografia da FEUP)
Anton, Howard; Elementary linear algebra. ISBN: 0-471-44902-4
Apostol, Tom M.; Calculus. ISBN: 84-291-5001-3
J.A. Trigo Barbosa, J.M.A. César de Sá, A.J. Mendes Ferreira;; ALGA - Exercícios Práticos , N (Obra a adquirir na reprografia da FEUP)
Barbosa José Augusto Trigo; Noções sobre matrizes e sistemas de equações lineares. ISBN: 972-752-069-3 972-752-065-0

Bibliografia Complementar

Ribeiro, Carlos Alberto Silva; Álgebra linear. ISBN: 972-8298-82-X
Monteiro, António; Álgebra linear e geometria analítica. ISBN: 972-8298-66-8
Luís, Gregório; Álgebra linear. ISBN: 972-9241-05-8

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

As aulas teóricas consistem na exposição detalhada do programa da unidade curricular; sempre que possível são apresentados exemplos simples de aplicação. Nas aulas práticas os estudantes aplicam os conceitos teóricos estudados na resolução de exercícios que se encontram propostos em folhas elaboradas para o efeito.

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Descrição	Tipo	Tempo (Horas)	Peso (%)	Data Conclusão
Participação presencial (estimativa)	Participação presencial	78,00
Realização de duas provas escritas	Exame	3,00		2011-02-07
	Total:	-	0,00

Componentes de Ocupação

Descrição	Tipo	Tempo (Horas)	Data Conclusão
Estudo para as provas escritas	Estudo autónomo	24	2011-02-07
Estudo para o acompanhamento das aulas	Estudo autónomo	57	2011-02-07
	Total:	81,00

Obtenção de frequência

Para obter frequência o estudante deverá:
1) Cumprir o disposto no artigo 4º das Normas Gerais de Avaliação em vigor na FEUP;
2) Realizar, pelo menos, uma das duas provas escritas previstas no processo de Avaliação Distribuída com classificação igual ou superior a 5 valores.

Fórmula de cálculo da classificação final

Durante o processo de Avaliação Distribuída, o estudante deverá realizar duas provas escritas, cada uma delas com a duração de 1h30m. Cada prova é constituída por uma parte teórica, valendo cerca de 20% da sua cotação total, e por uma parte teórico-prática, valendo a cotação restante.

Datas previstas para as provas escritas:
- 1ª prova escrita: 22 de Novembro de 2010;
- 2ª prova escrita: 17 de Janeiro de 2011.

A classificação final será a média das classificações obtidas nas duas provas realizadas.
A obtenção de aprovação exige, para além do que se encontra disposto no artigo 8º das Normas Gerais de Avaliação em vigor na FEUP, a obtenção de uma classificação igual ou superior a 6 valores em qualquer uma das duas provas efectuadas.

No final do semestre o estudante poderá ainda realizar uma prova de reavaliação para melhorar a classificação obtida no final do processo de Avaliação Distribuída. Esta prova poderá ser parcial, incidindo apenas sobre o programa avaliado numa das duas provas escritas, ou global, incidindo sobre todo o programa da unidade curricular.
Apenas serão admitidos à prova de reavaliação os estudantes que tenham obtido frequência.

Data prevista para a prova de reavaliação: 7 de Fevereiro de 2011.

Provas e trabalhos especiais

Não se aplica à presente unidade curricular.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Prova escrita a realizar em época especial de exame, de acordo com os números 6 e 7 do artigo 6º das Normas Gerais de Avaliação em vigor na FEUP.

Melhoria de classificação

Prova escrita de melhoria de classificação, a realizar de acordo com o artigo 10º das Normas Gerais de Avaliação em vigor na FEUP.