Álgebra Linear e Geometria Analítica

Código:

EM0005

Sigla:

ALGA

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2008/2009 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Secção de Matemática
Curso/CE Responsável:	Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
MIEIG	71	Plano de estudos de transiçao para 2006/07	1	-	6	84	160
		Plano de estudos oficial a partir de 2006/07	1	-	6	84	160
MIEM	221	Plano de estudos oficial a partir de 2006/07	1	-	6	84	160
		Plano de estudos de transição para 2006/07	1	-	6	84	160

Língua de trabalho

Português

Objetivos

OBJECTIVOS ESPECÍFICOS:
Esta disciplina tem dois objectivos fundamentais: por um lado, tratando-se de uma disciplina propedêutica tem um carácter didáctico/científico, promovendo o desenvolvimento do raciocínio lógico e de métodos de análise e, por outro, visa introduzir e desenvolver em termos teóricos um conjunto de conceitos que serão ferramentas essenciais para apoio às disciplinas mais específicas dos diferentes ramos da Engenharia leccionados no DEMEGI.

RESULTADOS ESPERADOS:
No final do período lectivo os alunos devem ser capazes de:
1) Conhecer as operações algébricas com vectores, suas propriedades e saber aplicá-las.
2) Definir espaço vectorial, subespaço vectorial e espaço euclideano.
3) Definir combinação linear de vectores, independência/dependência linear de vectores e subespaço gerado por um conjunto de vectores.
4) Definir e determinar uma base e a dimensão de um espaço vectorial; obter as componentes de um vector em relação a uma base.
5) Definir recta e plano, conhecer as suas propriedades e saber representá-los através de expressões matemáticas adequadas.
6) Resolver problemas com rectas e planos envolvendo distâncias, ângulos e ser capaz de identificar as suas posições relativas no espaço.
7) Conhecer as operações básicas com matrizes, suas propriedades e saber operar com elas.
8) Definir e determinar a característica de uma matriz.
9) Definir matriz não singular, conhecer as propriedades da matriz inversa e saber determiná-la.
10) Definir o determinante de uma matriz, conhecer as suas propriedades e saber determiná-lo.
11) Analisar e resolver sistemas de equações lineares.
12) Definir uma transformação linear, calcular e caracterizar o seu núcleo e contradomínio, conhecer as suas operações algébricas, saber em que condições ela é injectiva e, neste caso, definir e calcular a sua transformação inversa.
13) Recorrer à matriz para representar uma transformação linear e operar com transformações lineares recorrendo à álgebra matricial.
14) Definir matriz mudança de base e aplicá-la a problemas de mudanças de base envolvendo elementos de um espaço vectorial e transformações lineares.
15) Definir matrizes semelhantes e conhecer as suas propriedades.
16) Calcular valores próprios e vectores próprios de transformações lineares, conhecer as suas propriedades e identificar, no caso de ser possível, uma representação matricial diagonal para a transformação linear.

Programa

Introdução à Álgebra vectorial. Operações algébricas com vectores: adição e produto de um vector por um escalar.

Definição de espaço linear (vectorial). Subespaços vectoriais. Independência e dependência linear. Bases e dimensão. Componentes.

Produto interno. Espaços Euclideanos. Norma. Ortogonalidade.

Geometria analítica. Estudo da recta em Rn. Aplicações geométrica em R3. Estudo do plano em Rn. Vectores normais a planos em R3. Produto vectorial e produto misto. Aplicações geométricas em R3.

Espaço linear de matrizes. Produto de matrizes. Matriz transposta. Matriz inversa de uma matriz quadrada. Matriz ortogonal. Característica de uma matriz.

Matrizes semelhantes. Matrizes de mudança de base.

Estudo dos determinantes. Método de condensação e Teorema de Laplace. Inversão de matrizes usando o determinante.

Estudo dos sistemas de equações lineares. Método de eliminação de Gauss. Regra de Cramer.

Transformações lineares. Núcleo e contradomínio. Operações algébricas com transformações lineares. Transformações lineares injectivas. Representação matricial de transformações lineares. Isomorfismo entre transformações lineares e matrizes.

Valores próprios e vectores próprios de transformações lineares. Polinómio característico. Condição necessária e suficiente para a existência de representação matricial diagonal de uma transformação linear.

Bibliografia Obrigatória

Anton, Howard; Elementary linear algebra. ISBN: 0-471-44902-4
Apostol, Tom M.; Calculus. ISBN: 84-291-5001-3
J.A. Trigo Barbosa, J.M.A. César de Sá, A.J. Mendes Ferreira;; ALGA - Exercícios Práticos , N (Obra a adquirir na reprografia da FEUP)
Barbosa José Augusto Trigo; Noções sobre matrizes e sistemas de equações lineares. ISBN: 972-752-069-3 972-752-065-0
J.A. Trigo Barbosa; ; ALGA - Apontamentos Teórico-Práticos , N (Obra a adquirir na reprografia da FEUP)

Bibliografia Complementar

Luís, Gregório; Álgebra linear. ISBN: 972-9241-05-8
Ribeiro, Carlos Alberto Silva; Álgebra linear. ISBN: 972-8298-82-X
Monteiro, António; Álgebra linear e geometria analítica. ISBN: 972-8298-66-8

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

As aulas teóricas consistem na exposição detalhada do programa da disciplina; sempre que possível são apresentados exemplos simples de aplicação. Nas aulas práticas os alunos aplicam os conceitos teóricos estudados na resolução de exercícios que se encontram propostos em folhas elaboradas para o efeito.

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Descrição	Tipo	Tempo (Horas)	Peso (%)	Data Conclusão
Aulas da disciplina (estimativa)	Participação presencial	78,00
Realização de duas provas escritas	Exame	3,00		2009-01-16
	Total:	-	0,00

Componentes de Ocupação

Descrição	Tipo	Tempo (Horas)	Data Conclusão
Estudo para as provas escritas	Estudo autónomo	24	2009-01-16
Estudo para o acompanhamento das aulas	Estudo autónomo	57	2009-01-16
	Total:	81,00

Obtenção de frequência

As condições encontram-se definidas no artigo 4º das Normas Gerais de Avaliação em vigor na FEUP.

Fórmula de cálculo da classificação final

O aluno deve realizar dois mini-testes, cada um deles com a duração de 1h30m. Cada prova é constituída por uma parte teórica, valendo cerca de 20% da sua cotação total, e por uma parte teórico-prática valendo a cotação restante.
A classificação final será a média das classificações obtidas pelo aluno nos dois mini-testes realizados.
Datas previstas para os mini-testes:
- 1º mini-teste: 17 de Novembro de 2008;
- 2º mini-teste: 8 de Janeiro de 2009.
O aluno poderá realizar uma prova de recurso para melhorar a classificação obtida. Essa prova de recurso poderá ser parcial, incidindo sobre o programa avaliado num dos mini-testes, ou global, incidindo sobre todo o programa da disciplina.
Data prevista para a prova de recurso: 2 de Fevereiro de 2009.

Provas e trabalhos especiais

Não se aplica à presente disciplina.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

As condições encontram-se definidas no número 5 do artigo 6º das Normas Gerais de Avaliação em vigor na FEUP.

Melhoria de classificação

As condições encontram-se definidas no artigo 10º das Normas Gerais de Avaliação em vigor na FEUP.