Probabilidades e Estatística

Código:

L.EC016

Sigla:

PE

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2025/2026 - 2S

Ativa?	Sim
Página Web:	https://sigarra.up.pt/feup/pt/ucurr_geral.ficha_uc_view?pv_ocorrencia_id=455265
Unidade Responsável:	Departamento de Engenharia Civil e Georrecursos
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Engenharia Civil

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L.EC	242	Plano de estudos oficial	2	-	6	52	162

Língua de trabalho

Português
Obs.: Português

Objetivos

JUSTIFICAÇÃO:
Essencialmente, duas razões justificam a existência desta UC: a necessidade de desenvolvimento de um raciocínio analítico, fundamentado cientificamente, da capacidade de argumentação e da capacidade de comunicação em abordagens técnicas e científicas dos ramos da engenharia civil; a necessidade de aquisição de conhecimentos científicos de índole probabilística e estatística para utilização nas matérias a desenvolver nos restantes semestres do curso, nomeadamente no que respeita a situações que envolvem incerteza e decisão sob incerteza; competências para o exercício da profissão.

OBJETIVOS:
Obter uma base de formação para disciplinas seguintes; Adquirir conhecimentos sólidos para desenvolvimento ao nível de especializações ou no exercício da actividade profissional; desenvolver e ser capaz de utilizar correctamente e de forma rigorosa uma linguagem probabilística e estatística e mostrar capacidade de comunicação na abordagem de temas em que intervêm as Probabilidades ou a Estatística, garantindo uma interiorização correcta de conceitos;  Ser capaz de traduzir matematicamente o raciocínio na análise de problemas concretos e formular adequadamente esses problemas; Ser capaz de aplicar técnicas de resolução dos mesmos; Ser capaz de avaliar e discutir o nível de adequação de soluções propostas; Ser capaz de utilizar software de forma eficiente na resolução de problemas requerendo técnicas ou envolvendo conceitos estatísticos ou probabilísticos; Ser capaz de lidar cientificamente com situações e fenómenos que envolvem incerteza e decisão sob incerteza.

Resultados de aprendizagem e competências

COMPETÊNCIAS E RESULTADOS DE APRENDIZAGEM:
Competências a desenvolver (CDIO): conhecimentos técnicos em ciências fundamentais (a saber, em Estatística); aptidões pessoais e profissionais de pensamento e resolução de problemas de Engenharia, de experimentação e descoberta do conhecimento, de conhecimentos avançados de Engenharia e aptidões e atitudes pessoais; aptidões interpessoais de comunicação (oral e escrita).
O aluno deve ser capaz de:

- descrever conjuntos de dados por aplicação de técnicas estatísticas;
- calcular probabilidades em situações complexas, incluindo as que utilizam variáveis aleatórias a 1 ou 2 dimensões, seguindo ou não distribuições típicas;
- utilizar as propriedades envolvidas na utilização das distribuições típicas;
- resolver problemas de estimação;
- apreender a filosofia dos testes de hipóteses;
- resolver problemas e discutirdecisões, com base em testes de hipóteses paramétricos, com particular ênfase para os que envolvemos parâmetros média e variância;
- resolver problemas que envolvem o ajuste de distribuições e discutir a sua adequação;
-apresentar argumentos para ser adotada uma determinada solução para um problema ou para tirar uma conclusão;
- escolher a melhor solução ou o melhor método, quando em presença de vários;

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

O estudante deverá ter conhecimentos de Matemática ministrados nos semestres anteriores, como por exemplo, sobre a utilização de funções de uma ou mais variáveis, de integração simples e dupla, de sucessões e séries e da análise numérica, nomeadamente na utilização e execução de cálculos com ajuda de  computadores.

Programa

1. Breve apresentação do método estatístico no contexto da Engª Civil e o contexto de incerteza em Engenharia.

2. O papel dos dados.
2.1. diferentes tipos de variáveis estatísticas
2.2. distribuições estatísticas univariadas 
2.3. distribuições estatísticas bivariadas. 

3. Espaços de probabilidade
3.1. generalização de conceitos, axiomas e propriedades fundamentais
3.2. independência de acontecimentos e condicionamento.

4. Variáveis aleatórias unidimensionais
4.1. variáveis aleatórias discretas e contínuas;
4.2. breve referência à transformação de variáveis;
4.3. esperança matemática, variância, outros momentos;
4.4. parâmetros de ordem.

5. Variáveis aleatórias bidimensionais
5.1. distribuições  conjuntas e condicionadas
5.2. independência
5.3. esperança matemática
5.4. parâmetros de 2ª ordem

6. Distribuições teóricas típicas:
6.1. de variáveis aleatórias discretas
6.2. de variáveis aleatórias  contínuas
6.3. propriedades da lei Gaussiana.
6.4. outras propriedades

7. Aproximações de leis:
7.1. Aproximações e convergência
7.2. Teorema Central do Limite
7.3. aproximações de leis mais importantes.

8. Estimação:
8.1. estatísticas, estimadores e estimativas
8.2. estimadores da média e da variância
8.3. estimador do coeficiente de correlação linear
8.4. intervalos de confiança.

9. Testes de hipóteses:
9.1. filosofia dos testes de hipóteses
9.2. testes paramétricos para os parâmetros média e variância
9.3. testes sobre o ajustamento de distribuições.

10. Iniciação aos modelos de regressão linear simples.

DISTRIBUIÇÃO PERCENTUAL:
Componente científica: 80%
Componente tecnológica: 20%

DEMONSTRAÇÃO DA COERÊNCIA DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS COM OS OBJETIVOS DA UNIDADE CURRICULAR:
Os conteúdos transmitidos estão ligados com a necessidade de desenvolvimento de um raciocínio fundamentado cientificamente, da capacidade de argumentação e da capacidade de comunicação em abordagens técnicas e científicas dos ramos da engenharia civil, inserindo-se nomeadamente num percurso de aprendizagem de como lidar com a incerteza em engenharia; a necessidade de aquisição de conhecimentos científicos de índole probabilística e estatística para utilização nas matérias a desenvolver nos restantes semestres do curso.

Bibliografia Obrigatória

Douglas C. Montgomery, George C. Runger; Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. ISBN: 85-216-1360-1 (ou a sua versão original em Inglês: Montgomery, Douglas C.;Applied Statistics and Probability for Engineers. ISBN: 0-471-17027-5 )
Paula Milheiro de Oliveira; Estatística - Colecção de exercícios, Feup (disponível no Moodle)
Paula Milheiro de Oliveira; Estatística - Apontamentos da cadeira ( disponível no moodle UP)

Bibliografia Complementar

Morais, M.C. ; Probabilidades e Estatística: Teoria, Exemplos & Exercícios (2a. edição), IST Press, 2023. ISBN: 978-989-8481-78-8, 2023
Paula Milheiro de Oliveira; Paulo Avilez Valente; Aprender Probabilidades e Estatística por Pequenos Projetos para Estudantes de Engenharia Civil, Efeitos gráficos, 2024. ISBN: 978-989-35360-4-9
Paulino, C.D. e Branco, J.A.; Exercícios de Probabilidade e Estatística, Escolar Ed, 2005 (Livro contendo exercícios, dedicado a cursos de Engenharia)
Moore, David S.; Introduction to the Practice of Statistics. ISBN: 0-7167-1989-4
Bento Murteira, C.S. Ribeiro, J.A. Silva. C. Pimenta; Introdução à Estatística, Escolar Editora, 2010 (Edição revista em relação à edição de 2007 e anteriores)
Pestana, Dinis Duarte; Introdução à probabilidade e à estatística. ISBN: 972-31-0954-9
Andreia Hall, Cláudia Neves, António Pereira; Grande maratona de estatística no SPSS. ISBN: 978-972-592-301-6
Alfredo H-S. Ang, Wilson H. Tang; Probability Concepts in Engineering: Emphasis on Applications to Civil and Environmental Engineering, Wiley, 2007

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Disciplina essencialmente formativa, coordenando conhecimentos teóricos fundamentais com desenvolvimentos práticos generalistas. É fomentado o entendimento intuitivo de conceitos e a capacidade de cálculo. As matérias são expostas nas aulas teóricas com uso frequente de exemplos, procurando aplicações em diferentes áreas. Nas aulas práticas, o aluno é encaminhado na resolução de problemas seleccionados. É incentivado o uso de software estatístico e de folhas de cálculo, como instrumento de trabalho, nomeadamente na elaboração de 2 trabalhos práticos. São realizadas sessões em laboratório e demonstrações nas aulas teóricas em diversos estádios.
Os alunos devem munir-se de máquinas de calcular equipadas com as funções probabilísticas e estatísticas típicas (essencialmente o equivalente às funções do módulo "Statistical" do Excel). As suas máquinas acompanhá-los-ão em muitas das aulas e numa parte dos exames.

DEMONSTRAÇÃO DA COERÊNCIA DAS METODOLOGIAS DE ENSINO COM OS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM DA UNIDADE CURRICULAR:
As metodologias de ensino permitem ao estudante descrever conjuntos de dados por aplicação de técnicas estatísticas, calcular probabilidades em situações complexas, incluindo as que utilizam variáveis aleatórias a 1 ou 2 dimensões, seguindo ou não distribuições típicas, utilizar as propriedades envolvidas na utilização das distribuições típicas, resolver problemas de estimação, apreender a filosofia dos testes de hipóteses, resolver problemas e discutir decisões com base em testes de hipóteses paramétricos, com particular ênfase para os que envolvem os parâmetros média e variância, resolver problemas que envolvem o ajuste de distribuições e discutir a sua adequação.

Software

R - R studio
Excel
SPSS

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Teoria das probabilidades
Ciências Físicas > Matemática > Matemática aplicada > Matemática para a engenharia
Ciências Físicas > Matemática > Estatística

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	75,00
Trabalho prático ou de projeto	25,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	110,00
Frequência das aulas	52,00
Total:	162,00

Obtenção de frequência

A aprovação à unidade curricular implica o cumprimento da condição de frequência, considerando-se que um estudante cumpre essa condição se, tendo estado regularmente inscrito, não exceder o número limite de faltas correspondente a 25% das aulas presenciais previstas para cada tipologia. Além dos casos previstos estatutariamente nas regras em vigor na FEUP, estão dispensados da condição de frequência à unidade curricular os estudantes que tenham obtido no ano letivo imediatamente anterior uma nota final na UC igual ou superior a 6 valores.

 

Fórmula de cálculo da classificação final

CP: classificação média nos trabalhos práticos (em 20 valores, arredondada às décimas)
CE: classificação no exame escrito (em 20 valores, arredondada às décimas)

Classificação final = max(0,250 * CP + 0,750 * CE; CE)


NOTA 1: A obtenção de uma classificação inferior a 5,5 no primeiro trabalho prático impede a realização do segundo trabalho prático. Por outras palavras, 
para obtenção duma classificação válida na avaliação distribuída, o estudante tem de obter uma classificação não inferior  a 5,5 no primeiro trabalho prático.

NOTA 2: A avaliação distribuída realizada no ano anterior pode ser transferida para este ano a pedido do estudante até data a indicar oportunamente no moodle/email.  Essa data precederá sempre em alguns dias a data do  1º Trabalho Prático.

NOTA 3: A não realização dos trabalhos práticos, para qualquer estudante,  implica a atribuição da classificação de "zero"  associada a esse momento de avaliação. Os trabalhos práticos ocorrem exclusivamente no período que decorre até ao último dia de aulas e não se repetirão em momento algum, a partir daí.

Provas e trabalhos especiais

Os 2 trabalhos práticos referidos acima (TPs) são realizados em laboratório em datas a anunciar oportunamente, conforme aviso prévio (ver moodle).
Não há lugar a realização de trabalhos práticos em data posterior ao último dia de aulas, passando os estudantes que não os realizaram a ter zero nessa componente. Aplica-se a mesma fórmula de cálculo da classificação acima, ficando portanto o estudante com um peso de 100% no exame escrito.

 

 

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Exame final escrito para a Componente de Exame escrito. Para a componente relativa aos trabalhos práticos é retida a componente  realizada anteriormente no ano letivo.

Os estudantes com estatutos TE ou outros estatutos especiais estão sujeitos à realização da componente de avaliação distribuida, a qual devem realizar no decurso normal do semestre letivo  (data e hora a designar). Os estudantes que venham a realizar exames especiais necessitam de ter realizado esta componente nessa mesma data (que será antes do exame da época normal), para formar a classificação final, sem o que essa classificação será zero e é aplicada a fórmula geral de cálculo da classificação. Resulta, nesse caso, um peso de 100% do Exame Escrito.

Melhoria de classificação

Exame final escrito para a Componente de Exame escrito. Aplica-se a fórmula geral anterior de cálculo da classificação. Não há lugar a repetição dos trabalhos práticos.

Observações

Durante qualquer momento de avaliação é terminantemente proibida a posse de qualquer dispositivo eletrónico (por exemplo: telemóveis, tablets, auriculares, smartwatches, etc), com a exceção dos expressamente indicados pela equipa docente.
É da responsabilidade do estudante antecipar esta situação antes do início do momento de avaliação.