Análise Matemática II

Código:

EIG0050

Sigla:

AMII

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2020/2021 - 2S

Ativa?	Sim
Página Web:	http://sigarra.up.pt/feup/pt/
Unidade Responsável:	Secção de Matemática
Curso/CE Responsável:	Mestrado Integrado em Engenharia e Gestão Industrial

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
MIEGI	114	Plano de estudos oficial a partir de 2006/07	1	-	6	70	162

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Adquirir conhecimentos teóricos e práticos, essenciais, sobre o cálculo diferencial e integral de funções reais e vectoriais de uma ou várias variáveis, e sobre algumas das suas aplicações.

Resultados de aprendizagem e competências

No fim do período lectivo os estudantes devem ser capazes de:

1- Representar paramétricamente curvas em R2 e R3. Determinar o seu vector tangente e normal. Obter o comprimento de arco e a curvatura de uma curva. Calcular integrais de linha ao longo dessas curvas.
2- Discutir a continuidade de funções escalares de várias variáveis.
3 - Obter derivadas parciais e direccionais para campos escalares e campos vectoriais e construir o respetivo vector gradiente e a matriz jacobiana.
4 - Calcular derivadas de funções compostas, de campos escalares e vectoriais, bem como de funções definidas implicitamente.
5 - Obter máximos e mínimos livres de funções de duas ou três variáveis, bem como máximos e mínimos condicionados dessas funções, com uma ou duas restrições, pelo método dos multiplicadores de Lagrange.
6 - Calcular integrais duplos sobre regiões limitadas de R2, quer em coordenadas cartesianas quer em coordenadas polares.
7 - Calcular integrais triplos sobre regiões limitadas de R3, obter o volume dessas regiões por integração e transformar integrais triplos em coordenadas cartesianas para integrais em coordenadas cilíndricas e esféricas.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Conhecimentos adquiridos na unidade curricular de Análise Matemática I.

Programa

I - Funções vectoriais de uma variável real; representação paramétrica de uma curva em Rn. Limites, continuidade, derivação e integração de funções vectoriais . Aplicação ao estudo das curvas em Rn: vetores unitários da tangente, da normal principal e da binormal; triedro de Frenet. Aplicação ao estudo dos movimentos curvilíneos em R2 e R3: vetores velocidade e aceleração. Noção de comprimento de arco e função comprimento de arco. Parametrização relativamente ao comprimento de arco e conceito de curvatura.

II - Noções básicas para Funções de Rn em Rm : breves noções topológicas do espaço Rn; funções de Rn em R, sua definição, exemplos e alguns aspectos geométricos das respectivas representações gráficas; breve estudo de algumas superfícies. Conceitos de limite e continuidade e suas propeiedades. Limites e continuidade para funções vetoriais, de Rn em Rm.

III - Diferenciação de Funções de Rn em Rm: derivadas parciais e direccionais, derivadas parciais de ordem superior e Teorema de Schwarz; diferencial total e condições de diferenciabilidade; gradiente e matriz Jacobiana; regra de derivação da função composta para a composição de uma função vectorial com um campo escalar; aplicações geométricas do gradiente; conceito e determinação do plano tangente a uma superfície de nível; regras de derivação para outras composições de funções. Funções implícitas de uma ou mais variáveis : Teorema das funções implícitas e técnicas de derivação implícita. Fórmula de Taylor para funções reais de várias variáveis. Extremos livres : condições de 1ª e 2ª ordem. Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange.

IV - Integral de linha de campos escalares e de campos vectoriais ao longo de uma curva em Rn. Aplicação ao conceito de trabalho. Formulação diferencial dos integrais de linha.

V - Integral de Riemann em R2 : integrais sobre rectângulos em R2, definição, propriedades e interpretação geométrica; teorema de Fubini; integrais duplos sobre regiões mais gerais. Aplicações à geometria de massas. Mudança de variáveis em integrais duplos - aplicação às coordenadas polares. Integral de Riemann em R3: integrais sobre paralelepípedos em R3 , integrais triplos sobre regiões mais gerais; mudança de variáveis em integrais triplos - aplicação às coordenadas cilíndricas e às coordenadas esféricas.
Mudança genérica de variáveis em integrais duplos e triplos - justificação baseada em argumento geométrico. Exemplos.

Bibliografia Obrigatória

Larson, Hostetler & Edwards; Cálculo, McGraw-Hill Interamericana , 2006. ISBN: 85-86804-56-8 (Vol.2, Oitava edição)
C.C. António; Apontamentos de Análise Matemática II, AEFEUP. ISBN: 2017 ((A publicar na AEFEUP e nos conteúdos da unidade curricular no SIGARRA))

Bibliografia Complementar

Teresa Arede; Análise Matemática II - Apontamentos Teóricos, Efeitos Gráficos - AEFEUP, 2019
Apostol, Tom M.; Calculus, N. ISBN: 84-291-5001-3
Marsden, Jerrold E.; Vector Calculus, N. ISBN: 0-7167-1856-1

Observações Bibliográficas

Análise Matemática II - Apontamentos Teóricos e Práticos
Catarina Castro

Publicados nos conteúdos da unidade curricular no SIFEUP e na página da UC no Moodle

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Nas aulas teóricas são introduzidas as diferentes matérias em modo de apresentação usando a plataforma Colibri/zoom. Os conceitos e metodologias são exemplificados recorrendo à resolução de exercícios. Esclarecimento de dúvidas durante as aulas por interação via Colibri/zoom.
Nas aulas práticas (presenciais) são propostos e resolvidos exercícios constantes de um conjunto de enunciados disponibilizados em conteúdos da unidade curricular no SIFEUP e na plataforma moodle.
Alteração provocada pela situação COVID19:
Aulas práticas usando a plataforma Colibri/zoom. 
Esclarecimento de dúvidas durante as aulas por interação via Colibri/zoom ou ainda na plataforma moodle e por email.

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	100,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	97,00
Frequência das aulas	65,00
Total:	162,00

Obtenção de frequência

Não exceder o número limite de faltas nos termos do Artigo 8º do Regulamento Específico de Avaliação de Discentes da FEUP.

Fórmula de cálculo da classificação final

A avaliação desta unidade curricular (u.c.) será feita do seguinte modo:
- 1º teste, T1, obrigatório, em data a comunicar aos estudantes; este teste terá um peso de 50% na nota final e corresponderá aproximadamente a metade do programa da u.c.; é exigida uma nota mínima de 7 valores (em 20);
- 2º teste, T2, exclusivamente para estudantes que tiveram classificação em T1, igual ou superior a 7 valores (em 20), e que só incluirá a matéria posterior ao T1; este teste terá também um peso de 50% na nota final e é exigida também uma nota mínima de 7 valores (em 20);
- exame final, EF, A EFECTUAR SIMULTANEAMENTE COM O 2º TESTE, e que terá de ser realizado OBRIGATORIAMENTE por aqueles estudantes que tenham obtido nota inferior a 7 valores em T1; no entanto, qualquer estudante poderá optar por realizar este exame em alternativa ao 2º teste; o EF inclui toda a matéria;
- exame de recurso, ER, será realizado pelos estudantes que não tenham obtido nota mínima nalgum dos testes, T1 ou T2, ou que não tenham tido média de 10 valores nos dois testes ou no exame, e ainda para melhoria de classificação. Este exame também inclui toda a matéria.

A classificação final, CF, será assim obtida por: CF=(nota de T1+nota de T2)/2 desde que T1>=7 e T2>=7 ou CF=Nota de EF ou ainda CF=Nota de ER.



Nota: devido às restrições COVID o método de avaliação poderá vir a ser alterado e a duração de cada prova seguirá as instruções recebidas pela Direção da Faculdade e do Curso.

Provas e trabalhos especiais

Não aplicável.

Trabalho de estágio/projeto

Não aplicável.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Realizada através de um exame, de acordo com os Artigos 10º e 14º do Regulamento Específico de Avaliação de Discentes da FEUP em vigor na FEUP.

Melhoria de classificação

Nos termos do Artigo 11º do Regulamento Específico de Avaliação de Discentes da FEUP. A melhoria da classificação, quando realizada na época de recurso do ano lectivo em curso, será feita através do exame de recurso.

Observações

Não aplicável.