Álgebra Linear e Geometria Analítica

Código:

EM0005

Sigla:

ALGA

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2017/2018 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Secção de Matemática
Curso/CE Responsável:	Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
MIEM	229	Plano de estudos oficial a partir de 2006/07	1	-	6	78	162

Língua de trabalho

Português

Objetivos

A unidade curricular tem dois objetivos fundamentais: por um lado, tratando-se de uma unidade curricular propedêutica tem um carácter didático/científico, promovendo o desenvolvimento do raciocínio lógico e de métodos de análise e, por outro, visa introduzir e desenvolver em termos teóricos um conjunto de conceitos que serão ferramentas essenciais para apoio às unidades curriculares mais específicas dos diferentes ramos da Engenharia lecionados no DEMec.

São introduzidos conceitos fundamentais sobre Álgebra Linear, Álgebra Vetorial e Geometria Analítica, que são essenciais para a formação matemática de um estudante de Engenharia.

Resultados de aprendizagem e competências

No final do período letivo os estudantes devem ser capazes de:

a) Conhecer as operações algébricas com vetores, suas propriedades e saber aplicá-las;

b) Definir espaço linear, subespaço linear e espaço euclideano;

c) Definir combinação linear de vetores, independência/dependência linear de vetores e subespaço gerado por um conjunto de vetores;

d) Definir e determinar uma base e a dimensão de um espaço linear; obter as coordenadas de um vetor em relação a uma base;

e) Definir reta e plano, conhecer as suas propriedades e saber representá-los através de expressões matemáticas adequadas;

f) Resolver problemas com retas e planos envolvendo distâncias, ângulos e ser capaz de identificar as suas posições relativas no espaço;

g) Conhecer as operações básicas com matrizes, suas propriedades e saber operar com elas;

h) Definir e determinar a característica de uma matriz;

i) Definir matriz não singular, conhecer as propriedades da matriz inversa e saber determiná-la;

j) Definir o determinante de uma matriz, conhecer as suas propriedades e saber determiná-lo;

k) Analisar e resolver sistemas de equações lineares;

l) Definir uma transformação linear, calcular e caracterizar o seu núcleo e contradomínio, conhecer as suas operações algébricas, saber em que condições ela é injetiva e, neste caso, definir e calcular a sua transformação inversa;

m) Recorrer à matriz para representar uma transformação linear e operar com transformações lineares recorrendo à álgebra matricial;

n) Definir matriz mudança de base e aplicá-la a problemas de mudanças de base envolvendo elementos de um espaço linear e transformações lineares;

o) Definir matrizes semelhantes e conhecer as suas propriedades;

p) Calcular valores próprios e vetores próprios de transformações lineares, conhecer as suas propriedades e identificar, no caso de ser possível, uma representação matricial diagonal para a transformação linear.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

O estudante deverá ter conhecimentos básicos sobre trigonometria, funções reais a uma variável real, geometria analítica plana, sistemas de equações lineares e lógica.

Programa

Operações algébricas com vetores: adição e produto de um vetor por um escalar.

Definição de espaço linear; subespaços lineares. Independência e dependência linear. Bases e dimensão. Componentes e coordenadas.

Produto interno. Espaços euclideanos. Norma. Ortogonalidade.

Produto vetorial e produto misto. Estudo da reta em Rⁿ. Aplicações geométricas em R³. Estudo do plano em Rⁿ. Vetores normais a planos em R³. Aplicações geométricas em R³.

Espaço linear de matrizes. Produto de matrizes. Matriz transposta. Matriz inversa de uma matriz quadrada. Matriz ortogonal. Característica de uma matriz.

Matrizes semelhantes. Matrizes de mudança de base.

Estudo dos determinantes. Método de condensação e Teorema de Laplace. Inversão de matrizes usando o determinante.

Estudo dos sistemas de equações lineares. Método de eliminação de Gauss. Regra de Cramer.

Transformações lineares. Núcleo e contradomínio. Operações algébricas com transformações lineares. Transformações lineares injetivas. Representação matricial de transformações lineares. Isomorfismo entre transformações lineares e matrizes.

Valores próprios e vetores próprios de transformações lineares. Polinómio característico. Condição necessária e suficiente para a existência de representação matricial diagonal de uma transformação linear. Aplicação às transformações lineares simétricas.

Bibliografia Obrigatória

José Augusto Trigo Barbosa; Noções sobre álgebra linear. ISBN: 978-972-752-142-5
Barbosa José Augusto Trigo; Noções sobre matrizes e sistemas de equações lineares. ISBN: 972-752-069-3 972-752-065-0
José Augusto Trigo Barbosa; Noções sobre Geometria Analítica e Análise Matemática, efeitosgraficos, 2017. ISBN: 978-989-99559-3-6
Anton, Howard; Elementary linear algebra. ISBN: 0-471-44902-4
Apostol, Tom M.; Calculus. ISBN: 84-291-5001-3
Cristina Faria M. Guedes; Apontamentos da disciplina (Aulas Teóricas), 2015 (documento disponível nos conteúdos do SIFEUP)

Bibliografia Complementar

Ribeiro, Carlos Alberto Silva; Álgebra linear. ISBN: 972-8298-82-X
Monteiro, António; Álgebra linear e geometria analítica. ISBN: 972-8298-66-8
Luís, Gregório; Álgebra linear. ISBN: 972-9241-05-8
J.A. Trigo Barbosa, J.M.A. César de Sá e A.J. Mendes Ferreira; ALGA - Exercícios Práticos (obra disponível na reprografia da FEUP)

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

As aulas teóricas consistem na exposição detalhada do programa da unidade curricular; sempre que possível são apresentados exemplos simples de aplicação. Nas aulas teórico-práticas os estudantes aplicam os conceitos teóricos estudados na resolução de exercícios que se encontram propostos na bibliografia obrigatória.

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Álgebra
Ciências Físicas > Matemática > Matemática aplicada > Matemática para a engenharia
Ciências Físicas > Matemática > Geometria

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	100,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	78,00
Frequência das aulas	84,00
Total:	162,00

Obtenção de frequência

Para obter frequência o estudante deverá:

a) Cumprir o disposto no artigo 7º do Regulamento Específico de Avaliação de Discentes da FEUP;

b) Realizar, pelo menos, uma das duas provas escritas previstas no processo de Avaliação Distribuída com classificação igual ou superior a 5,5 valores.

Fórmula de cálculo da classificação final

Durante o processo de Avaliação Distribuída, o estudante deverá realizar duas provas escritas, cada uma delas com a duração de 2h. Cada prova é constituída por uma parte teórica, valendo cerca de 20% da sua cotação total, e por uma parte teórico-prática, valendo a cotação restante.  A classificação final será a média das classificações obtidas nas duas provas realizadas.

Datas previstas para as provas escritas: 1ª prova escrita: 20 de novembro de 2017; 2ª prova escrita: 19 de janeiro de 2018.

A obtenção de aprovação exige, para além do que se encontra disposto no artigo 4º do Regulamento Específico de Avaliação de Discentes da FEUP, a obtenção de uma classificação igual ou superior a 5,5 valores em qualquer uma das duas provas efetuadas.

No final do semestre o estudante poderá ainda realizar uma prova de reavaliação para melhorar a classificação obtida no final do processo de Avaliação Distribuída. Esta prova poderá ser parcial, incidindo apenas sobre o programa avaliado numa das duas provas escritas, ou global, incidindo sobre todo o programa da unidade curricular. Apenas serão admitidos à prova de reavaliação os estudantes que tenham obtido frequência.

Os estudantes que obtiveram aprovação no final do processo de Avaliação Distribuída e pretendam realizar, para melhorar a classificação obtida, a prova de reavaliação global (em Recurso) deverão efetuar a sua inscrição nos Serviços Académicos da FEUP.

Data para as provas de reavaliação: 02 de fevereiro de 2018.

Provas e trabalhos especiais

Não se aplica à presente unidade curricular.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Prova escrita a realizar em época especial de exame, de acordo com os números 1b), 1c), 2 a 4 do artigo 9º do Regulamento Específico de Avaliação de Discentes da FEUP.

Melhoria de classificação

Prova escrita de melhoria de classificação, a realizar de acordo com o artigo 10º do Regulamento Específico de Avaliação de Discentes da FEUP.