Análise Matemática II

Código:

EIG0050

Sigla:

AMII

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2013/2014 - 2S

Ativa?	Sim
Página Web:	http://sigarra.up.pt/feup/pt/
Unidade Responsável:	Secção de Matemática
Curso/CE Responsável:	Mestrado Integrado em Engenharia e Gestão Industrial

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
MIEIG	97	Plano de estudos oficial a partir de 2006/07	1	-	7	84	189

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Adquirir conhecimentos teóricos e práticos, essenciais, sobre o cálculo diferencial e integral de funções reais e vectoriais de uma ou várias variáveis, e sobre algumas das suas aplicações.

Resultados de aprendizagem e competências

No fim do período lectivo os estudantes devem ser capazes de:

1- Usar representações paramétricas de curvas em Rn e obter o seu vector tangente e normal; calcular integrais de linha ao longo dessas curvas.
2- Discutir a continuidade de funções escalares de várias variáveis.
3 - Obter derivadas parciais e direccionais para campos escalares e campos vectoriais e saber construir o vector gradiente e a matriz jacobiana.
4 - Calcular derivadas de funções compostas, de campos escalares e vectoriais, bem como de funções definidas implicitamente.
5 - Obter máximos e mínimos livres de funções de duas ou três variáveis, bem como máximos e mínimos condicionados dessas mesmas funções, com uma ou duas restrições, pelo método dos multiplicadores de Lagrange.
6 - Calcular integrais duplos sobre regiões limitadas de R2, quer em coordenadas cartesianas quer em coordenadas polares e calcular áreas dessa regiões. Relacionar um integral duplo com um integral de linha, usando o teorema de Green.
7 - Calcular integrais triplos sobre regiões limitadas de R3, obter o volume dessas regiões por integração e transformar integrais triplos em coordenadas cartesianas para integrais em coordenadas cilíndricas e esféricas.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Conhecimentos adquiridos nas unidades curriculares de Matemática e Análise Matemática I.

Programa

I - Funções vectoriais de uma variável real; representação paramétrica de uma curva em Rn. Limites, continuidade, derivação e integração de funções vectoriais . Breve aplicação ao estudo das curvas em Rn e aos movimentos curvilíneos em R3. Comprimento de arco.

II - Noções Básicas para Funções de R n em R m : breves noções topológicas do espaço R n; funções de R n em R, sua definição, exemplos e alguns aspectos geométricos das respectivas representações gráficas; breve estudo de algumas superfícies; noção de limite; continuidade. Limites e continuidade para funções de R n em R m.

III - Diferenciação de Funções de R n em R m: derivadas parciais e direccionais, derivadas parciais de ordem superior e Teorema de Schwarz; diferencial total e condições de diferenciabilidade; gradiente e matriz Jacobiana; regra de derivação da função composta para a composição de uma função vectorial com um campo escalar; aplicações geométricas do gradiente; conceito e determinação do plano tangente a uma superfície de nível; regras de derivação para outras composições de funções. Funções implícitas de uma ou mais variáveis : Teorema das funções implícitas e técnicas de derivação implícita. Fórmula de Taylor para funções reais de várias variáveis. Extremos livres : condições de 1ª e 2ª ordem. Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange.

IV - Integral de linha de campos escalares e de campos vectoriais ao longo de uma curva em Rn. Teoremas fundamentais para integrais de linha. Campos vectoriais conservativos e independência de caminhos.

V - Integral de Riemann em R 2 : integrais sobre rectângulos em R 2 , definição , propriedades e interpretação geométrica; teorema de Fubini; integrais duplos sobre regiões mais gerais. Teorema de Green e suas aplicações. Mudança de variáveis em integrais duplos - aplicação às coordenadas polares. Integral de Riemann em R 3: integrais sobre paralelepípedos em R3 , integrais triplos sobre regiões mais gerais; mudança de variáveis em integrais triplos - aplicação às coordenadas cilíndricas e às coordenadas esféricas.

Bibliografia Obrigatória

Larson, Hostetler & Edwards; Cálculo, McGraw-Hill Interamericana , 2006. ISBN: 85-86804-56-8 (Vol.2, Oitava edição)
Carlos AC António; Apontamentos de Análise Matemática II, 2012 (A publicar nos conteúdos da unidade curricular no SIFEUP)

Bibliografia Complementar

Marsden, Jerrold E.; Vector Calculus, N. ISBN: 0-7167-1856-1
Apostol, Tom M.; Calculus, N. ISBN: 84-291-5001-3

Observações Bibliográficas

A publicar nos conteúdos da unidade curricular no SIFEUP

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Nas aulas teórico-práticas expõem-se as diferentas matérias com o apoio de projecção de "slides" ou transparências; são exemplificados todos os conceitos e metodologias introduzidas recorrendo à resolução de exercícios no quadro. Incentiva-se a participação dos estudantes quer através de questões, individuais ou ao grupo, colocadas pelo Professor, bem como através da resolução de exemplos. Nas 2h de aulas práticas semanais serão propostos, para resolução pelos estudantes, alguns exercícios, constantes de um conjunto de folhas de exercícios que serão disponibilizadas nos conteúdos da unidade curricular, no SIFEUP. O Professor procurará esclarecer as dúvidas surgidas.

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Teste	100,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	105,00
Frequência das aulas	84,00
Total:	189,00

Obtenção de frequência

Não exceder o número limite de faltas nos termos do Artigo 4º das Normas Gerais de Avaliação.

Fórmula de cálculo da classificação final

A avaliação desta unidade curricular (u.c.) será feita do seguinte modo: - 1º teste, T1, obrigatório, em data a comunicar aos estudantes; este teste terá um peso de 50% na nota final e corresponderá aproximadamente a metade do programa da u.c.; é exigida uma nota mínima de 8 valores (em 20); - 2º teste, T2, exclusivamente para estudantes que tiveram classificação em T1, igual ou superior a 8 valores (em 20), e que só incluirá a matéria posterior ao T1; este teste terá também um peso de 50% na nota final e é exigida também uma nota mínima de 8 valores (em 20); - exame final, EF, A EFECTUAR SIMULTANEAMENTE COM O 2º TESTE, e que terá de ser realizado OBRIGATORIAMENTE por aqueles estudantes que tenham obtido nota inferior a 8 valores em T1; no entanto, qualquer estudante poderá optar por realizar este exame em alternativa ao 2º teste; o EF inclui toda a matéria; - exame de recurso, ER, será realizado pelos estudantes que não tenham obtido nota mínima nalgum dos testes, T1 ou T2, ou que não tenham tido média de 10 valores nos dois testes ou no exame, e ainda para melhoria de classificação. Este exame também inclui toda a matéria. Todas as provas terão a duração de 2H:30min. A classificação final, CF, será assim obtida por: CF=(nota de T1+nota de T2)/2 desde que T1>=8 e T2>=8 ou CF=Nota de EF ou ainda CF=Nota de ER.

Provas e trabalhos especiais

Não aplicável.

Trabalho de estágio/projeto

Não aplicável.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Realizada através de um exame, de acordo com as Normas Gerais de Avaliação em vigor na FEUP.

Melhoria de classificação

Nos termos do número 2 do Artigo 10º das Normas Gerais de Avaliação, a melhoria da classificação, quando realizada na época de recurso do ano lectivo em curso, será feita através do exame de recurso.

Observações

Não aplicável.