Análise Matemática III

Código:

EM0015

Sigla:

AM III

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2010/2011 - 1S

Ativa?	Sim
Página Web:	http://www.fe.up.pt/smat
Unidade Responsável:	Secção de Matemática
Curso/CE Responsável:	Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
MIEM	283	Plano de estudos oficial a partir de 2006/07	2	-	7	70	187

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Nesta disciplina pretende-se atingir os seguintes objectivos: transmitir aos alunos conceitos e técnicas de integração de equações diferenciais ordinárias (e de sistemas de equações diferenciais ordinárias), de modo a que aprendam a reconhecer uma equação diferencial(ou sistema) e resolvê-la usando essas técnicas. Pretende-se também que o aluno consiga resolver alguns problemas, quer de natureza física quer de natureza geométrica, pondo-os sob a forma de uma equação diferencial e determinando a sua solução, assim como dotar o aluno com os conhecimentos de cálculo diferencial e integral em espaços tridimensionais que permitam a sua utilização como ferramenta no estudo e resolução de problemas de engenharia. Os alunos deverão ainda ficar habilitados a usar a representação e/ou aproximação de funções periódicas em séries de Fourier em variadas aplicações.
Espera-se que os alunos fiquem aptos a:
-resolver equações diferenciais e sistemas
-calcular integrais de linha e de superfície
-representar funções em séries de Fourier
-integrar algumas equações de derivadas parciais

Programa

Equações Diferenciais - Definição de solução geral e problemas de valor inicial e na fronteira. Equações Diferenciais de 1ª Ordem. Teorema de existência e unicidade da solução. Equações homogéneas e trajectórias ortogonais. Equações diferenciais exactas e factor integrante. Equações diferenciais lineares (solução geral como soma da solução geral da equação homogénea associada com uma qualquer solução particular da equação completa - método da variação da constante); equações redutíveis a lineares ( equações de Bernoulli Riccati).
Equações de 2ª ordem - Equações redutíveis a 1ª ordem: caso I em que a variável dependente não aparece explicitamente na equação de 2ª ordem; Equações diferenciais lineares de ordem n : equações diferenciais lineares de ordem n homogéneas; equações diferenciais lineares de ordem n homogéneas de coeficientes constantes – espaço vectorial de soluções. Equações não homogéneas - método da variação das constantes ou método de Wronski para obtenção de uma qualquer solução particular destas equações.

Sistemas de equações diferenciais - conceitos básicos e exemplos . Sistemas de equações diferenciais lineares de 1ªordem e sua relação com as equações diferenciais lineares de ordem n. Sistemas de equações diferenciais lineares de 1ªordem de coeficientes constantes homogéneos: solução geral. Sistemas de equações diferenciais lineares de 1ªordem não homogéneos: método da variação das constantes

Transformadas de Laplace-definição e existência; 1º e 2º Teoremas da translação; inversa da Transformada de Laplace; Transformada de Laplace da derivada; Teorema da convolução. Transformada de Laplace de funções descontínuas. Aplicação à integração de equações diferenciais de coeficientes constantes.

Integrais de linha: propriedades e aplicações. Curvas e parametrizações. Campos irrotacionais. Função potencial. Campos conservativos. Integrais de superfície: propriedades e aplicações. Operadores: gradiente, divergência, rotacional, operadores compostos, Laplaciano. Teorema de Green, Teorema de Stokes e Teorema de Gauss; aplicações.
Análise de Fourier – Séries de Fourier: funções periódicas, funções pares e ímpares, funções não periódicas, expansões. Covergência da série trigonométrica.
Aproximação por polinómio trigonométrico; erro quadrático.

Equações de Derivadas Parciais - Princípios fundamentais, solução, condições iniciais e de fronteira. Equações de 1ª ordem. Equações de 2ª ordem de coeficientes constantes. Métodos de determinação de soluções. Equação das ondas; aplicações. Equação do calor

Bibliografia Obrigatória

Kreyszig, Erwin; Advanced Engineering Mathematics. ISBN: 0-471-59989-1
Madureira, Luísa; Problemas de equações diferenciais ordinárias de Laplace. ISBN: 972-752-065-0

Bibliografia Complementar

Wylie, C. Ray; Advanced engineering mathematics. ISBN: 0-07-113543-X
Apostol, Tom M.; Calculus. ISBN: 84-291-5001-3

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

As aulas de exposição teórica consistem em exposições orais onde a dedução e abstracção é considerada fundamental. Nas aulas práticas os alunos resolvem exercícios propostos sugeridos com antecedência baseados tanto nos textos como no livro de exercícios indicados.Haverá controle de presenças nas aulas práticas não podendo o aluno exceder o número de faltas previstas ( 25% das aulas previstas ), a indicar pelo Professor para cada turma prática . No caso de exceder o número de faltas indicado o aluno não terá frequência à disciplina e não poderá realizar qualquer exame desta disciplina, a menos que tenha um estatuto especial (consultar as normas pedagógicas e de avaliação da FEUP ).

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Descrição	Tipo	Tempo (Horas)	Peso (%)	Data Conclusão
Participação presencial (estimativa)	Participação presencial	70,00
testes	Exame	5,00
	Total:	-	0,00

Componentes de Ocupação

Descrição	Tipo	Tempo (Horas)	Data Conclusão
estudo	Estudo autónomo	114
	Total:	114,00

Obtenção de frequência

No caso de exceder o número de faltas às aulas práticas,indicado pelo respectivo Professor,o aluno não terá frequência à disciplina e não poderá realizar qualquer exame desta disciplina, a menos que tenha um estatuto especial (consultar as normas pedagógicas e de avaliação da FEUP ).

Fórmula de cálculo da classificação final

50% do primeiro teste + 50% do segundo teste
No exame de recurso os alunos poderão repetir o primeiro teste ou o segundo (a nota a atribuir será a melhor em cada dessas provas) ou então realizar uma prova final com toda a matéria.
A nota máxima 20 será atribuída apenas com realização de uma prova oral.

Provas e trabalhos especiais

não previsto

Avaliação especial (TE, DA, ...)

conforme previsto nas normas da FEUP

Melhoria de classificação

conforme previsto nas normas da FEUP