Análise Matemática II

Código:

EM0010

Sigla:

AM II

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2007/2008 - 2S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Secção de Matemática
Curso/CE Responsável:	Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
LEM	0	Plano de estudos de transição para 2006/07	1	7	7	70	187
LGEI	0	Plano de estudos de transição para 2006/07	1	7	7	70	187
MIEIG	66	Plano de estudos de transiçao para 2006/07	1	-	7	70	187
		Plano de estudos oficial a partir de 2006/07	1	-	7	70	187
MIEM	237	Plano de estudos oficial a partir de 2006/07	1	-	7	70	187
		Plano de estudos de transição para 2006/07	1	-	7	70	187

Língua de trabalho

Português

Objetivos

OBJECTIVOS ESPECÍFICOS:
Conhecimentos teóricos e práticos, essenciais, sobre o cálculo diferencial e integral de funções reais e vectoriais de uma ou várias variáveis, e sobre algumas das suas aplicações.

RESULTADOS ESPERADOS:
No fim do período lectivo os alunos devem ser capazes de:

1- Usar representações paramétricas de curvas em Rn e obter o seu vector tangente e normal; calcular integrais de linha ao longo dessas curvas.
2- Discutir a continuidade de funções escalares de várias variáveis.
3 - Obter derivadas parciais e direccionais para campos escalares e campos vectoriais e saber. construir o vector gradiente e a matriz jacobiana
4 - Calcular derivadas de funções compostas, de campos escalares e vectoriais, bem como de funções definidas implicitamente.
5 - Obter máximos e mínimos livres de funções de duas ou três variáveis, bem como máximos e mínimos condicionados dessas mesmas funções, com uma ou duas restrições, pelo método dos multiplicadores de Lagrange.
6 - Calcular integrais duplos sobre regiões limitadas de R2, quer em coordenadas cartesianas quer em coordenadas polares e calcular áreas dessa regiões. Relacionar um integral duplo com um integral de linha, usando o teorema de Green.
7 - Calcular integrais triplos sobre regiões limitadas de R3, obter o volume dessas regiões por integração e transformar integrais triplos em coordenadas cartesianas para integrais em coordenadas cilíndricas e esféricas.

Programa

I - Funções vectoriais de uma variável real; representação paramétrica de uma curva em Rn. Limites, continuidade, derivação e integração de funções vectoriais . Breve aplicação ao estudo das curvas em Rn e aos movimentos curvilíneos em R3. Comprimento de arco.
II - Noções Básicas para Funções de R n em R m : breves noções topológicas do espaço R n; funções de R n em R, sua definição, exemplos e alguns aspectos geométricos das respectivas representações gráficas; breve estudo de algumas superfícies; noção de limite; continuidade. Limites e continuidade para funções de R n em R m.
III - Diferenciação de Funções de R n em R m: derivadas parciais e direccionais, derivadas parciais de ordem superior e Teorema de Schwarz; diferencial total e condições de diferenciabilidade; gradiente e matriz Jacobiana; regra de derivação da função composta para a composição de uma função vectorial com um campo escalar; aplicações geométricas do gradiente; conceito e determinação do plano tangente a uma superfície de nível; regras de derivação para outras composições de funções.
Funções implícitas de uma ou mais variáveis : Teorema das funções implícitas e técnicas de derivação implícita.
Fórmula de Taylor para funções reais de várias variáveis.
Extremos livres : condições de 1ª e 2ª ordem. Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange.
IV - Integral de linha de campos escalares e de campos vectoriais ao longo de uma curva em Rn. Teoremas fundamentais para integrais de linha. Campos vectoriais conservativos e independência de caminhos.
V - Integral de Riemann em R 2 : integrais sobre rectângulos em R 2 , definição , propriedades e interpretação geométrica; teorema de Fubini; integrais duplos sobre regiões mais gerais. Teorema de Green e suas aplicações. Mudança de variáveis em integrais duplos - aplicação às coordenadas polares.
Integral de Riemann em R 3: integrais sobre paralelepípedos em R 3 , integrais triplos sobre regiões mais gerais; mudança de variáveis em integrais triplos - aplicação às coordenadas cilíndricas e às coordenadas esféricas.

Bibliografia Obrigatória

Larson, Hostetler & Edwards; Cálculo, McGraw-Hill Interamericana , 2006. ISBN: 85-86804-56-8 (Vol.2, Oitava edição)

Bibliografia Complementar

Marsden, Jerrold E.; Vector Calculus, N. ISBN: 0-7167-1856-1
Apostol, Tom M.; Calculus, N. ISBN: 84-291-5001-3

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Nas 3h de aulas teóricas as diferentas matérias são expostas no quadro por vezes com apoio de projecção de "transparências" ; serão exemplificados todos os conceitos e metodologias introduzidas.
Nas 2h de aulas práticas serão propostos, para resolução pelos alunos, alguns exercícios, constantes de um conjunto de folhas de exercícios que se encontram à na Editorial da Faculdade. O Professor procurará esclarecer as dúvidas surgidas.

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Descrição	Tipo	Tempo (Horas)	Peso (%)	Data Conclusão
Aulas da disciplina (estimativa)	Participação presencial	70,00
Tempo gasto em mini-testes e exames	Exame	8,00		2008-07-31
	Total:	-	0,00

Componentes de Ocupação

Descrição	Tipo	Tempo (Horas)	Data Conclusão
Estudo para acompanhamento das aulas	Estudo autónomo	84	2008-07-31
Estudo para mini-testes e exames	Estudo autónomo	27	2008-07-31
	Total:	111,00

Obtenção de frequência

1) Não exceder o número limite de faltas nos termos do Artigo 4º das Normas Gerais de Avaliação; e
2) Ter pelo menos 12 valores na soma dos valores obtidos nos dois mini-testes (média de 6 valores), realizados no âmbito da Componente Distribuída da Avaliação.

Fórmula de cálculo da classificação final

A Componente Distribuída da Avaliação (CDA) corresponde à realização de dois mini-teste com a duração máxima de 90 minutos cada e classificação entre 0 e 20 valores. A não comparência a um mini-teste equivale à atribuição da classificação de 0 (zero) valores, excepto nos casos devidamente justificados.
O aluno que obtém frequência, vai ter como Componente Distribuída da Avaliação (CDA) em valores o correspondente à media aritmética dos dois mini-testes. A nota da Componente Distribuída da Avaliação (CDA) vale 25% da classificação (CF) na disciplina.
O Exame final, normal ou de recurso, (EF) é constituído por uma parte de índole prática com a cotação de 15 (quinze) valores e uma parte de índole teórica valendo 5 (cinco) valores. As provas terão a duração máxima de 2 horas e 30 minutos.
A nota da classificação do exame final normal ou de recurso (EF) vale 75% da classificação (CF) na disciplina.
A nota da classificação final (CF), é obtida considerando a nota da classificação do exame final normal ou de recurso (EF) e a nota da componente distribuída da avaliação (CDA), usando a seguinte fórmula:
CF=0.75*EF+0.25*CDA

Obs.: Apenas os alunos que tenham obtido frequência podem apresentar-se a Exame Final (normal ou de recurso).

Provas e trabalhos especiais

Não aplicável

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Realizada através de um exame, de acordo com as Normas Gerais de Avaliação em vigor na FEUP.
Havendo uma classificação da componente distribuída da avaliação (CDA), aplica-se a fórmula de cálculo da classificação final definida para o processo da avaliação normal.
Para os casos em que não existe uma classificação da CDA, a nota final será exclusivamente a da prova escrita do exame.

Melhoria de classificação

Nos termos do número 2 do Artigo 10º das Normas Gerais de Avaliação, a melhoria da classificação será feita usando a fórmula de cálculo da classificação final (CF) anteriormente definida, quando realizada na época de recurso do ano lectivo em curso.
Para as restantes situações a melhoria será efectuada mediante a realização de um exame especial com a duração máxima de 2 horas e 30 minutos.