Matemática I
Áreas Científicas |
Classificação |
Área Científica |
OFICIAL |
Ciências de Base |
Ocorrência: 2009/2010 - 1S
Ciclos de Estudo/Cursos
Sigla |
Nº de Estudantes |
Plano de Estudos |
Anos Curriculares |
Créditos UCN |
Créditos ECTS |
Horas de Contacto |
Horas Totais |
MIB |
69 |
Plano de estudos oficial |
1 |
- |
6 |
80 |
162 |
Língua de trabalho
Português
Objetivos
Pretende-se que os alunos adquiram conhecimentos teóricos e práticos básicos sobre Álgebra Linear e Geometria Analítica e ainda sobre Cálculo Diferencial e Integral para funções reais de uma variável real, de acordo com o programa indicado.
COMPETÊNCIAS ESPERADAS : Ser capaz de
1 - Analisar a dependência e independência linear de um conjunto de vectores em R2 e R3.
2 - Determinar a dimensão e construir bases para subespaços de R2 e R3.
3 - Efectuar as operações com matrizes, dadas no curso.
4 - Calcular determinantes de qualquer ordem e saber utilizar as suas principais propriedades.
5 -Classificação dos sistemas de equações lineares quanto ao tipo de soluções e resolução dos sistemas pelo método de eliminação de Gauss.
6 -Determinar valores e vectores próprios de uma matriz bem como os respectivos subespaços próprios.
7 - Calcular o ângulo, o produto interno e o produto externo entre 2 vectores.
8- Determinação das equações vectoriais, paramétricas e cartesianas de rectas e planos em R3.
9 - Obter as funções inversas das funções trigonométricas bem como as suas derivadas.
10 - Obter a fórmula de Taylor com resto de algumas funções simples.
11 - Calcular primitivas pelos métodos de substituição e partes.
12 - Calcular primitivas de fracções racionais.
13 - Calcular integrais definidos usando os teoremas fundamentais.
14 - Calcular áreas de regiões planas usando integrais definidos.
15 - Analisar funções em coordenadas polares.
Programa
A - Tópicos de Álgebra Linear e de Geometria Analítica
I – Espaços vectoriais: definição; o caso de Rn; subespaços vectoriais; dependência e independência linear; bases e dimensão.
II – Matrizes: definição, dimensão e operações. O caso especial das matrizes quadradas: matrizes triangulares, matrizes simétricas e transposição de matrizes. Matriz inversa e suas propriedades. Matrizes ortogonais. Potência de uma matriz. Característica de uma matriz. Método da condnsação de matrizes.
III – Determinantes: definição e propriedades; cálculo de determinantes – Teorema de Laplace; aplicações dos determinantes à determinação da matriz inversa e da característica de uma matriz.
IV – Sistemas de equações lineares: sistemas homogéneo e não homogéneo; espaço vectorial das soluções; forma matricial dos sistemas; discussão e resolução de sistemas – método de Gauss-Jordan; regras de Cramer.
V – Valores próprios e vectores próprios: definição; propriedades; polinómio característico e determinação dos valores próprios de uma matriz; subespaço próprio associado a um valor próprio; multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica; bases de vectores próprios.
VI – Geometria analítica: norma de um vector; ângulo de dois vectores, vectores colineares e perpendiculares; projecção ortogonal de um vector sobre outro; produto interno e suas propriedades; produto interno, norma e distância em coordenadas numa dada base; produto vectorial ou externo e produto misto em R3; equação vectorial da recta e do plano; equações paramétricas e cartesianas.
B – Cálculo diferencial e integral de funções reais de uma variável real
I – Revisão de algumas funções reais de variável real: a função exponencial e logarítmica. Suas propriedades e gráficos. Breve revisão dos conceitos de limite e continuidade e suas aplicações a algumas funções; algumas indeterminações; funções trigonométricas e suas inversas; funções hiperbólicas. Coordenadas polares e sua relação com as coordenadas cartesianas. Funções em coordenadas polares.
II – Derivação: definição e interpretação da derivada; regras de derivação da função composta e da função inversa; problemas de aplicação ao crescimento das funções e à determinação de máximos e mínimos; exemplo do crescimento exponencial e da curva logística; regra de l’Hôpital; noção de diferencial; aproximação polinomial - polinómios de Taylor e fórmula de Taylor com resto.
III – Primitivação: definição de primitiva ou antiderivada; exemplos imediatos; regras elementares; primitivação por substituição e por partes; decomposição e primitivação de fracções racionais.
IV - Integral de Riemann num intervalo [a,b]: definição através das somas de Riemann; propriedades básicas; teorema fundamental do cálculo; aplicações do integral ao cálculo de áreas ; valor médio e teorema do valor médio. M
Bibliografia Obrigatória
Giraldes,E., Fernandes,V.H., Santos,M.H.; Curso de Algebra Linear e Geometria Analitica, McGraw-Hill, 1994
Teresa Arede; Apontamentos da Disciplina (Disponibilizados na página da disciplina no SIFEUP, em Conteúdos)
Carlos A. Conceição António; Análise Matemática I - Textos de Apoio, AEFEUP, 2007-2008
Larson, Hostetler, Edwards; Cálculo, 8ª ed., vol1, McGraw-Hill, 2006
Bibliografia Complementar
Neuhauser,C.; Calculus for Biology and Medicine, 2nd Ed., Prentice Hall, 2004
Métodos de ensino e atividades de aprendizagem
Sendo as aulas teórico-práticas, haverá períodos de exposição da matéria teórica, com exemplos resolvidos, seguidos de períodos de problemas propostos para resolução individual, acompanhada pelo professor.
A exposição teórica será feita tanto no quadro como recorrendo à projecção de slides.
Tanto a exposição teórica como os exercícios práticos serão apoiados em Apontamentos fornecidos aos alunos.
Tipo de avaliação
Avaliação distribuída com exame final
Componentes de Avaliação
Descrição |
Tipo |
Tempo (Horas) |
Peso (%) |
Data Conclusão |
Aulas da disciplina (estimativa) |
Participação presencial |
46,00 |
|
|
1º Teste de Avaliação |
Exame |
2,50 |
|
2009-11-13 |
2 Teste de Avaliação/Exame Final |
Exame |
2,50 |
|
2010-01-22 |
|
Total: |
- |
0,00 |
|
Componentes de Ocupação
Descrição |
Tipo |
Tempo (Horas) |
Data Conclusão |
Acompanhamento das aulas teórico práticas |
Estudo autónomo |
69 |
|
Preparação para Testes/Exames |
Estudo autónomo |
42 |
|
|
Total: |
111,00 |
|
Obtenção de frequência
Nos termos das normas gerais de avaliação um aluno obterá frequência se o número de faltas às aulas não exceder 25% das aulas previstas; para esta disciplina estão previstas 20 aulas pelo que o número máximo de faltas será de 5.
Fórmula de cálculo da classificação final
A avaliação desta disciplina será feita do seguinte modo:
- 1º teste, T1, obrigatório, em data a comunicar aos alunos;
- 2º teste, T2, exclusivamente para alunos que tiveram classificação em T1, igual ou superior a 10 valores (em 20), e que só incluirá a matéria posterior ao T1; ambos os testes têm o mesmo peso;
- exame final, EF, que será em simultâneo com o 2º teste, e que terá de ser realizado obrigatoriamente por quem tenha obtido nota inferior a 10 valores em T1; no entanto, qualquer aluno poderá optar por realizar este exame em alternativa ao 2º teste; o EF inclui toda a matéria;
- exame de recurso, ER, será para alunos que não tenham sido aprovados na disciplina por nenhum outro processo e ainda para melhoria de classificação.
A classificação final, CF, será assim dada por
CF=(nota de T1+nota de T2)/2 ou CF=Nota de EF ou ainda CF=Nota de ER
Provas e trabalhos especiais
1º teste (T1): obrigatório, em data a comunicar aos alunos.
2º teste (T2): exclusivamente para alunos que tiverem classificação em T1, igual ou superior a 10 valores (em 20), e que só incluirá a matéria posterior ao T1; será realizado na data do Exame Final.
Exame final (EF): decorrerá em simultâneo que o 2º teste, e terá de ser realizado obrigatoriamente por quem tenha obtido nota inferior a 10 valores em T1; no entanto, qualquer aluno poderá optar por realizar este exame em alternativa ao 2º teste. O EF inclui toda a matéria.
Exame de recurso (ER): será para alunos que não tenham sido aprovados na disciplina por nenhum outro processo e ainda para melhoria de classificação.
Os alunos com CF superior a 18 valores terão de se submeter a uma prova oral a combinar com o docente, para que possam manter a respectiva classificação.
Durante o semestre serão propostos exercícios para resolução individual, fora das aulas e por escrito. A entrega desses exercícios, convenientemente resolvidos, dará lugar a uma informação positiva sobre o empenho do aluno relativamente a esta disciplina.
No decurso das aulas os alunos poderão ser chamados a resolver, no quadro, alguns dos exercícios propostos anteriormente. Este facto dará também lugar a uma informação sobre o empenho do aluno relativamente a esta disciplina.
Avaliação especial (TE, DA, ...)
Nos termos das normas gerais de avaliação.
Melhoria de classificação
No exame de recurso.
Observações
AS AULAS TERÃO INÍCIO NO DIA 22/09/09