Matemática I

Código:

EBE0001

Sigla:

MAT1

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Ciências de Base

Ocorrência: 2009/2010 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Secção de Matemática
Curso/CE Responsável:	Mestrado Integrado em Bioengenharia

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
MIB	69	Plano de estudos oficial	1	-	6	80	162

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Pretende-se que os alunos adquiram conhecimentos teóricos e práticos básicos sobre Álgebra Linear e Geometria Analítica e ainda sobre Cálculo Diferencial e Integral para funções reais de uma variável real, de acordo com o programa indicado.

COMPETÊNCIAS ESPERADAS : Ser capaz de

1 - Analisar a dependência e independência linear de um conjunto de vectores em R2 e R3.
2 - Determinar a dimensão e construir bases para subespaços de R2 e R3.
3 - Efectuar as operações com matrizes, dadas no curso.
4 - Calcular determinantes de qualquer ordem e saber utilizar as suas principais propriedades.
5 -Classificação dos sistemas de equações lineares quanto ao tipo de soluções e resolução dos sistemas pelo método de eliminação de Gauss.
6 -Determinar valores e vectores próprios de uma matriz bem como os respectivos subespaços próprios.
7 - Calcular o ângulo, o produto interno e o produto externo entre 2 vectores.
8- Determinação das equações vectoriais, paramétricas e cartesianas de rectas e planos em R3.
9 - Obter as funções inversas das funções trigonométricas bem como as suas derivadas.
10 - Obter a fórmula de Taylor com resto de algumas funções simples.
11 - Calcular primitivas pelos métodos de substituição e partes.
12 - Calcular primitivas de fracções racionais.
13 - Calcular integrais definidos usando os teoremas fundamentais.
14 - Calcular áreas de regiões planas usando integrais definidos.
15 - Analisar funções em coordenadas polares.

Programa

A - Tópicos de Álgebra Linear e de Geometria Analítica

I – Espaços vectoriais: definição; o caso de Rn; subespaços vectoriais; dependência e independência linear; bases e dimensão.

II – Matrizes: definição, dimensão e operações. O caso especial das matrizes quadradas: matrizes triangulares, matrizes simétricas e transposição de matrizes. Matriz inversa e suas propriedades. Matrizes ortogonais. Potência de uma matriz. Característica de uma matriz. Método da condnsação de matrizes.

III – Determinantes: definição e propriedades; cálculo de determinantes – Teorema de Laplace; aplicações dos determinantes à determinação da matriz inversa e da característica de uma matriz.

IV – Sistemas de equações lineares: sistemas homogéneo e não homogéneo; espaço vectorial das soluções; forma matricial dos sistemas; discussão e resolução de sistemas – método de Gauss-Jordan; regras de Cramer.

V – Valores próprios e vectores próprios: definição; propriedades; polinómio característico e determinação dos valores próprios de uma matriz; subespaço próprio associado a um valor próprio; multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica; bases de vectores próprios.

VI – Geometria analítica: norma de um vector; ângulo de dois vectores, vectores colineares e perpendiculares; projecção ortogonal de um vector sobre outro; produto interno e suas propriedades; produto interno, norma e distância em coordenadas numa dada base; produto vectorial ou externo e produto misto em R3; equação vectorial da recta e do plano; equações paramétricas e cartesianas.


B – Cálculo diferencial e integral de funções reais de uma variável real

I – Revisão de algumas funções reais de variável real: a função exponencial e logarítmica. Suas propriedades e gráficos. Breve revisão dos conceitos de limite e continuidade e suas aplicações a algumas funções; algumas indeterminações; funções trigonométricas e suas inversas; funções hiperbólicas. Coordenadas polares e sua relação com as coordenadas cartesianas. Funções em coordenadas polares.

II – Derivação: definição e interpretação da derivada; regras de derivação da função composta e da função inversa; problemas de aplicação ao crescimento das funções e à determinação de máximos e mínimos; exemplo do crescimento exponencial e da curva logística; regra de l’Hôpital; noção de diferencial; aproximação polinomial - polinómios de Taylor e fórmula de Taylor com resto.

III – Primitivação: definição de primitiva ou antiderivada; exemplos imediatos; regras elementares; primitivação por substituição e por partes; decomposição e primitivação de fracções racionais.

IV - Integral de Riemann num intervalo [a,b]: definição através das somas de Riemann; propriedades básicas; teorema fundamental do cálculo; aplicações do integral ao cálculo de áreas ; valor médio e teorema do valor médio. M

Bibliografia Obrigatória

Giraldes,E., Fernandes,V.H., Santos,M.H.; Curso de Algebra Linear e Geometria Analitica, McGraw-Hill, 1994
Teresa Arede; Apontamentos da Disciplina (Disponibilizados na página da disciplina no SIFEUP, em Conteúdos)
Carlos A. Conceição António; Análise Matemática I - Textos de Apoio, AEFEUP, 2007-2008
Larson, Hostetler, Edwards; Cálculo, 8ª ed., vol1, McGraw-Hill, 2006

Bibliografia Complementar

Neuhauser,C.; Calculus for Biology and Medicine, 2nd Ed., Prentice Hall, 2004

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Sendo as aulas teórico-práticas, haverá períodos de exposição da matéria teórica, com exemplos resolvidos, seguidos de períodos de problemas propostos para resolução individual, acompanhada pelo professor.
A exposição teórica será feita tanto no quadro como recorrendo à projecção de slides.
Tanto a exposição teórica como os exercícios práticos serão apoiados em Apontamentos fornecidos aos alunos.

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Descrição	Tipo	Tempo (Horas)	Peso (%)	Data Conclusão
Aulas da disciplina (estimativa)	Participação presencial	46,00
1º Teste de Avaliação	Exame	2,50		2009-11-13
2 Teste de Avaliação/Exame Final	Exame	2,50		2010-01-22
	Total:	-	0,00

Componentes de Ocupação

Descrição	Tipo	Tempo (Horas)	Data Conclusão
Acompanhamento das aulas teórico práticas	Estudo autónomo	69
Preparação para Testes/Exames	Estudo autónomo	42
	Total:	111,00

Obtenção de frequência

Nos termos das normas gerais de avaliação um aluno obterá frequência se o número de faltas às aulas não exceder 25% das aulas previstas; para esta disciplina estão previstas 20 aulas pelo que o número máximo de faltas será de 5.

Fórmula de cálculo da classificação final

A avaliação desta disciplina será feita do seguinte modo:

- 1º teste, T1, obrigatório, em data a comunicar aos alunos;

- 2º teste, T2, exclusivamente para alunos que tiveram classificação em T1, igual ou superior a 10 valores (em 20), e que só incluirá a matéria posterior ao T1; ambos os testes têm o mesmo peso;

- exame final, EF, que será em simultâneo com o 2º teste, e que terá de ser realizado obrigatoriamente por quem tenha obtido nota inferior a 10 valores em T1; no entanto, qualquer aluno poderá optar por realizar este exame em alternativa ao 2º teste; o EF inclui toda a matéria;

- exame de recurso, ER, será para alunos que não tenham sido aprovados na disciplina por nenhum outro processo e ainda para melhoria de classificação.

A classificação final, CF, será assim dada por

CF=(nota de T1+nota de T2)/2 ou CF=Nota de EF ou ainda CF=Nota de ER

Provas e trabalhos especiais

1º teste (T1): obrigatório, em data a comunicar aos alunos.

2º teste (T2): exclusivamente para alunos que tiverem classificação em T1, igual ou superior a 10 valores (em 20), e que só incluirá a matéria posterior ao T1; será realizado na data do Exame Final.

Exame final (EF): decorrerá em simultâneo que o 2º teste, e terá de ser realizado obrigatoriamente por quem tenha obtido nota inferior a 10 valores em T1; no entanto, qualquer aluno poderá optar por realizar este exame em alternativa ao 2º teste. O EF inclui toda a matéria.

Exame de recurso (ER): será para alunos que não tenham sido aprovados na disciplina por nenhum outro processo e ainda para melhoria de classificação.

Os alunos com CF superior a 18 valores terão de se submeter a uma prova oral a combinar com o docente, para que possam manter a respectiva classificação.

Durante o semestre serão propostos exercícios para resolução individual, fora das aulas e por escrito. A entrega desses exercícios, convenientemente resolvidos, dará lugar a uma informação positiva sobre o empenho do aluno relativamente a esta disciplina.

No decurso das aulas os alunos poderão ser chamados a resolver, no quadro, alguns dos exercícios propostos anteriormente. Este facto dará também lugar a uma informação sobre o empenho do aluno relativamente a esta disciplina.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Nos termos das normas gerais de avaliação.

Melhoria de classificação

No exame de recurso.

Observações

AS AULAS TERÃO INÍCIO NO DIA 22/09/09