Matemática III

Código:

EBE0013

Sigla:

MAT3

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Ciências de Base

Ocorrência: 2012/2013 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Secção de Matemática
Curso/CE Responsável:	Mestrado Integrado em Bioengenharia

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
MIB	79	Plano de estudos oficial	2	-	5	56	135

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Introdução de conceitos teóricos e de técnicas de integração dos principais tipos de equações diferenciais ordinárias e de sistemas de equações diferenciais ordinárias, bem como a sua aplicação à resolução de alguns problemas simples.
São ainda objectivos desta disciplina o estudo e análise da convergência de séries, numéricas e de funções, e a obtenção de séries de Fourier e de transformadas de Laplace.

COMPETÊNCIAS ESPERADAS : No final desta unidade curricular o aluno deve ser capaz de

1 - Reconhecer e classificar uma equação diferencial .
2 - Resolver equações diferenciais usando as técnicas ensinadas.
3 - Resolver sistemas de equações diferenciais lineares usando valores e vectores próprios da matriz dos coeficientes.
4 - Escrever a solução de sistemas de equações diferenciais lineares na forma de uma exponencial de uma matriz, e calcular esta.
5 - Analisar a convergência de algumas séries numéricas.
6 - Determinar o intervalo de convergência de séries de potências.
7 - Obter séries de Fourier de funções periódicas simples.
8 - Obter a transformada de Laplace das funções mais usuais.
9 - Aplicar as transformadas de Laplace à resolução de equações diferenciais e sistemas de equações diferenciais.

É ainda desejável que o aluno consiga resolver alguns problemas, quer de natureza física quer de natureza geométrica, pondo-os sob a forma de uma equação diferencial e determinando a sua solução.

Programa

I - Equações diferenciais ordinárias. Problemas de valor inicial e problemas de valor na fronteira.

II - Equações diferenciais de 1ª ordem resolvidas em ordem à derivada. Teorema de existência e unicidade da solução. Equações de variáveis separáveis. Equação diferencial linear de 1ª ordem e equação de Bernoulli. Problemas que conduzem a equações diferenciais de 1ª ordem.

III - Equações diferenciais de ordem n. Casos de redução de ordem. Equações lineares homogéneas e não homogéneas. Espaço vectorial das soluções da equação homogénea. Equações diferenciais homogéneas de coeficientes constantes. Base de soluções quando a equação característica tem n raízes reais distintas, n raízes reais múltiplas e no caso de raízes complexas. Equações diferenciais lineares não homogéneas. Determinação da solução pelo método da variação das constantes.
Problemas que conduzem a equações diferenciais de ordem superior a um.

IV -Séries numéricas: definição e propriedades. Séries telescópicas e geométricas. Condição necessária para a convergência de uma série. Critérios de convergência para séries de termos positivos: critérios da comparação. Critérios da raiz (ou de Cauchy) e do quociente (ou d’Alembert). Convergência absoluta e relativa. Séries alternadas: definição e critério de Leibniz.
Sucessões de funções:definição de limite e exemplos. Séries de funções: domínio de convergência e soma. O caso especial das séries de potências: convergência das séries de potências. Conceitos de intervalo de convergência e raio de convergência.
Séries de Taylor como limite dos polinómios de Taylor. Exemplos.
Séries de Fourier. Definição e cálculo dos coeficientes. Fórmulas de Euler. Aplicações às funções pares e ímpares. Exemplos.

V - Sistemas de equações diferenciais: introdução, exemplos de problemas traduzidos por sistemas. Sistemas lineares, teorema de existência e unicidade. Sistemas homogéneos e não homogéneos. Espaço vectorial de soluções dum sistema homogéneo. Soluções de sistemas de n equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Estudo dos valores e vectores próprios da matriz de coeficientes: Caso de existência de uma base de vectores próprios. Sistemas de equações diferenciais não homogéneos de coeficientes constantes. Método da variação das constantes. Solução de um sistema usando a exponencial de uma matriz.

V I - Transformada de Laplace: definição e condições de existência. Cálculo da transformada de algumas funções, usando a a definição. Inversa da Transformada de Laplace. Linearidade da transformada de Laplace e da sua inversa; exemplos. Transformada de Laplace da derivada e aplicação às equações diferenciais. Primeiro Teorema da translação ou translação em s. Função de Heaviside e funções nulas fora de um intervalo. Segundo teorema da translação ou translação em t.
Convolução de duas funções. Teorema da convolução. Estudo da "função" Delta de Dirac. Sua transformada de Laplace.
Aplicação da Transformada de Laplace à resolução de equações diferenciais e de sistemas de equações diferenciais.

Bibliografia Obrigatória

Teresa Arede; Apontamentos de Matemática III, Publicados no SIFEUP nos conteúdos da disciplina
C. Henry Edwards, David E. Penney; Differential Equations. ISBN: 0-13-067337-4
Larson, Hostetler, Edwards; Cálculo, vol 1 e 2, 8ª ed., McGraw-Hill, 2006

Bibliografia Complementar

Madureira, Luísa; Problemas de equações diferenciais ordinárias de Laplace. ISBN: 972-752-065-0
Kreyszig, Erwin; Advanced Engineering Mathematics. ISBN: 0-471-33328-X

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Sendo as aulas de índole teórico-prática, haverá períodos de exposição da matéria teórica, com exemplos resolvidos, seguidos de períodos de problemas propostos para resolução individual, acompanhada pelo professor.
A exposição teórica será feita tanto no quadro como recorrendo à projecção de slides.
Tanto a exposição teórica como os exercícios práticos serão apoiados em Apontamentos e Folhas de Exercícios fornecidos aos alunos.

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Obtenção de frequência

Nos termos das normas gerais de avaliação um aluno obterá frequência se o número de faltas às aulas não exceder 25% das aulas previstas.
No presente ano letivo, de 2012-2013, o número de faltas permitidas, a esta U.C., será de 6 aulas.

Fórmula de cálculo da classificação final

A avaliação desta disciplina será feita do seguinte modo:

- 1º teste, T1, obrigatório, sensivelmente a meio do semestre, em data a comunicar aos alunos;

- 2º teste, T2, exclusivamente para alunos que tiveram classificação em T1, igual ou superior a 10 valores (em 20), e que só incluirá a matéria posterior ao T1; os dois testes têm o mesmo peso

- exame final, EF, a decorrer em simultâneo com o 2º teste, e que terá de ser realizado obrigatoriamente por quem tenha obtido nota inferior a 10 valores em T1; no entanto, qualquer aluno poderá optar por realizar este exame em alternativa ao 2º teste; o EF inclui toda a matéria

- exame de recurso, ER, será realizado pelos alunos que não tenham sido aprovados na disciplina por nenhum outro processo e ainda para melhoria de classificação.

A classificação final, CF, será assim obtida por:

CF=(nota de T1+nota de T2)/2 ou CF=Nota de EF ou ainda CF=Nota de ER

Provas e trabalhos especiais

1º teste (T1): obrigatório, em data a comunicar aos alunos.

2º teste (T2): exclusivamente para alunos que tiverem classificação em T1, igual ou superior a 10 valores (em 20), e que só incluirá a matéria posterior ao T1; será realizado na data do Exame Final.

Exame final (EF): decorrerá em simultâneo que o 2º teste, e terá de ser realizado obrigatoriamente por quem tenha obtido nota inferior a 10 valores em T1; no entanto, qualquer aluno poderá optar por realizar este exame em alternativa ao 2º teste. O EF inclui toda a matéria.

Exame de recurso (ER): será para alunos que não tenham sido aprovados na disciplina por nenhum outro processo e ainda para melhoria de classificação.

Os alunos com CF superior a 18 valores terão de se submeter a uma prova oral a combinar com o docente, para que possam manter a respectiva classificação.

Durante o semestre serão propostos exercícios para resolução individual, fora das aulas e por escrito. A entrega desses exercícios, convenientemente resolvidos, dará lugar a uma informação positiva sobre o empenho do aluno relativamente a esta disciplina.

No decurso das aulas os alunos poderão ser chamados a resolver, no quadro, alguns dos exercícios propostos anteriormente. Este facto dará também lugar a uma informação sobre o empenho do aluno relativamente a esta disciplina.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Nos termos das normas gerais de avaliação.

Melhoria de classificação

No exame de recurso.

Observações

As aulas iniciar-se-ão no dia 10/09/2012, de acordo com horário da disciplina.