Equações Diferenciais

Código:

M2035

Sigla:

M2035

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2022/2023 - 2S

Ativa?	Sim
Página Web:	https://moodle.up.pt/course/view.php?id=896
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:M	89	Plano de Estudos Oficial	2	-	9	84	243
L:MA	0	Plano de Estudos Oficial	2	-	9	84	243

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Aquisição de conhecimentos básicos da teoria das Equações Diferenciais e aplicação desta teoria a situações reais.

Resultados de aprendizagem e competências

Pretende-se que os estudantes adquiram conhecimentos e se familiarizem com técnicas que lhes permitam:

a. resolver equações diferenciais ordinárias de tipo clássico (de 1ª e 2ª ordem) e sistemas lineares de equações diferenciais ordinárias;

b. estudar equações diferenciais do ponto de vista qualitativo (pontos de equilíbrio, estabilidade e diagramas de fase no caso de dimensão 2);

c. modelar (e resolver) problemas reais que envolvem equações diferenciais;

d. resolver equações em derivadas parciais clássicas (equação do calor, da onda e de Laplace) usando separação de variáveis e expansão em série de Fourier.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Análise Real I e II e Álgebra Linear e Geometria Analítica I e II.

Programa

1. Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem 
Equações diferenciais lineares, separáveis, exatas, homogéneas. Aplicações: datação por isótopos radioativos, crescimento de populações, misturas, trajetórias ortogonais entre outras.  

2. Teorema da existência e unicidade de solução
Enunciado e prova do teorema usando o teorema do ponto fixo de Banach. 

3. Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem
Sistemas lineares homogéneos com coeficientes constantes e sistemas autónomos não lineares. Diagramas de fase. Pontos de equilíbrio e critérios de estabilidade. Aplicações: modelo do arrefecimento de Newton com temperatura ambiente variável, modelo de Lotka-Volterra.

4. Equações diferenciais ordinárias lineares de 2ª ordem 
Equações homogéneas. Método da variação dos parâmetros e método da redução de ordem para equações não homogéneas. Resolução de equações diferenciais lineares de 2ª ordem por expansão em série de potências. Aplicação: movimento de um objeto sujeito à força de uma mola elástica, com ou sem atrito, com ou sem ação de forças exteriores.

5. Equações em derivadas parciais 
Problemas de valor na fronteira. Separação de variáveis. Séries de Fourier. Equação do calor, da onda e de Laplace e sua resolução.

Bibliografia Obrigatória

Braun Martin; Differential equations and their applications. ISBN: 0-387-90266-X

Bibliografia Complementar

Hirsch Morris W.; Differential equations, dynamical systems, and linear algebra. ISBN: 0-12-349550

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Aulas teóricas com apresentação teórica da matéria e ilustração através de exemplos. 
Aulas teorico-práticas com resolução de problemas concretos pelos estudantes.

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Análise matemática > Equações diferenciais

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Teste	100,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	156,00
Frequência das aulas	84,00
Trabalho escrito	3,00
Total:	243,00

Obtenção de frequência

Os estudantes deverão estar presentes em todas as aulas usadas para avaliação distribuída (a indicar nas aulas da primeira semana).

Fórmula de cálculo da classificação final

Época normal: a classificação será a média ponderada das classificações obtidas em três testes, cada um com a cotação de 20 valores, com os pesos de 37.5%, 37.5% e 25%, respetivamente.
Para obter aprovação o estudante deve ter uma nota mínima de 5 valores em cada um dos dois primeiros testes e de 4 valores no terceiro teste.   

Época de recurso: a classificação será a obtida num exame, dividido em três partes de forma a corresponder aos conteúdos dos três testes. Mantém-se o requisito de nota mínima de 5 valores em cada uma das duas primeiras partes e de 4 valores na terceira parte.
Aos estudantes que não tiverem ainda obtido aprovação à UC, e apenas a estes, será dada a possibilidade de substituir uma das partes do exame pela classificação obtida no teste correspondente. 

Exceção aplicável a ambas as épocas: um estudante que obtenha uma classificação superior ou igual a 18 valores deverá realizar uma prova complementar em data a combinar, caso contrário ficará com a classificação de 18 valores.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Estudantes que por estatuto especial estejam dispensados da avaliação distribuída terão um exame nas condições descritas para a época de recurso.

Melhoria de classificação

A melhoria de classificação deverá ser feita na época de recurso.