Álgebra

Código:

M2032

Sigla:

M2032

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2022/2023 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:M	108	Plano de Estudos Oficial	2	-	9	84	243

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Introduzir os conceitos, métodos e resultados básicos das Teorias dos Grupos e dos Anéis.

Resultados de aprendizagem e competências

Ao completar esta unidade curricular, o estudante deve:

(1) dominar conceitos, métodos e resultados básicos das Teorias dos Grupos e dos Anéis;

(2) ser capaz de analisar e resolver problemas no âmbito das Teorias dos Grupos e dos Anéis utilizando os métodos e resultados que melhor se apliquem aos problemas em estudo;

(3) apreciar as ligações das Teorias dos Grupos e dos Anéis a outras áreas da matemática, como a Geometria e a Teoria dos Números;

(4) ser capaz de comunicar de forma eficiente e clara as suas resoluções de problemas e compreensão da matéria.

 

Modo de trabalho

Presencial

Programa

• Noções básicas: relações binárias, de ordem e de equivalência.


• Definições e propriedades elementares de grupos e de anéis; exemplos importantes de grupos e de anéis: grupos de permutações; números inteiros, reais e complexos; inteiros módulo n; permutações; matrizes e grupos lineares; grupos de simetria; anéis de polinómios e séries formais de potências.


• Anéis de divisão, domínios de integridade e corpos. Exemplos.


• Produto direto de grupos e de anéis.


• Subgrupos e subanéis.


• Geradores de um grupo; grupos cíclicos; classes laterais; teorema de Lagrange e algumas das suas consequências, como o “pequeno” teorema de Fermat e a sua generalização por Euler, assim como o facto de todo o grupo de ordem prima ser cíclico.


• Homomorfismos e isomorfismos. Conjugação. Teorema de Cayley.


• Teorema fundamental dos grupos Abelianos finitamente gerados.


• Subgrupos normais e grupos quociente. Teorema fundamental do homomorfismo para grupos.


• Ações de grupo e aplicações. Teoremas de Sylow.


• Ideais e anéis quociente.


• Teorema Fundamental do Homomorfismo para anéis.


• Corpos finitos.


• Domínios Euclideanos, domínios de ideais principais, elementos irredutíveis e elementos primos no contexto dos números inteiros e dos polinómios com coeficientes num corpo.

Bibliografia Obrigatória

Gregory T. Lee; Abstract Algebra: an Introductory Course, Springer, 2018. ISBN: 978-3-319-77648-4

Bibliografia Complementar

Fernandes Rui Loja; Introdução à álgebra. ISBN: 972-8469-27-6
Rotman Joseph; A first course in abstract algebra. ISBN: 0-13-011584-3
B. L. van der Waerden; A history of algebra from Al-Khwarizmi to Emmy Noether. ISBN: 3-540-13610-X
Fraleigh John B.; A first course in abstract algebra. ISBN: 0-201-16847-2
Peter M. Neumann; Groups and geometry. ISBN: 0-19-853451-5
M. A. Armstrong; Groups and symmetry. ISBN: 0-387-96675-7
J.S. Milne; Group Theory, 2017 (Disponível online em: http://jmilne.org/math/CourseNotes/gt.html)

Observações Bibliográficas

Está disponível um texto de apoio na página da disciplina no Moodle.

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

As horas de contacto estão distribuídas em aulas teóricas e teórico-práticas. Nas primeiras são estudados os conteúdos do programa, recorrendo-se frequentemente a exemplos para ilustrar os conceitos tratados e orientar os estudantes na resolução de exercícios e problemas. Nas aulas teórico-práticas são resolvidos exercícios e problemas, previamente indicados para cada semana. São disponibilizadas folhas de exercícios e outros materiais de apoio às aulas na página da disciplina no Sigarra.

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Álgebra > Teoria de grupos

Tipo de avaliação

Avaliação por exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	100,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	159,00
Frequência das aulas	84,00
Total:	243,00

Obtenção de frequência

Não é exigida assiduidade para a obtenção de frequência.

Fórmula de cálculo da classificação final

A aprovação à unidade curricular pode ser obtida em dois testes realizados durante o semestre ou no exame final.

Os testes, a realizar em datas a anunciar, correspondem à matéria sobre a Teoria dos Grupos e a Teoria dos Anéis, com as durações respetivas de duas e uma hora, com os pesos respetivos de 2/3 e 1/3.

Os estudantes aprovados nos testes ficam dispensados do exame final mas poderão nele participar. O exame terá duas partes, correspondente à mesma divisão da matéria, de duração e de pesos que os testes. Os estudante podem fazer só uma parte do exame, se assim preferirem. A nota final será calculada tomando para cada parte o máximo entre as notas obtidas nos testes e no exame.  

O exame de recurso será feita nos mesmos moldes que o da época normal.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Os exames requeridos ao abrigo de estatutos especiais constarão de uma prova escrita que poderá ser precedida de uma prova oral eliminatória, para avaliar se o aluno está em condições mínimas de tentar obter aprovação à disciplina na prova escrita.