Análise Real I

Código:

M1011

Sigla:

M1011

Nível:

100

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2022/2023 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:B	4	Plano de Estudos Oficial	3	-	9	84	243
L:CC	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2021/22	2	-	9	84	243
L:G	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2017/18	2	-	9	84	243
			3
L:M	107	Plano de Estudos Oficial	1	-	9	84	243
L:MA	39	Plano de Estudos Oficial	1	-	9	84	243
L:Q	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2016/17	3	-	9	84	243

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Compreensão e capacidade de utilização dos conceitos e resultados básicos relacionados com os assuntos constantes do programa.

Resultados de aprendizagem e competências

Ao completar esta unidade curricular, o estudante deve saber, compreender e ser capaz de utilizar as noções e resultados básicos sobre números Reais (estrutura algébrica, ordem, completude), funções (injectividade, sobrejectividade, imagem e imagem recíproca de conjuntos, composição, função inversa, monotonia, máximos e mínimos), sucessões como exemplos de funções, gráficos, limites e continuidade (definição e unicidade de limite de uma função num ponto, limites laterais e aritmética de limites, limites no infinito, limites infinitos e assímptotas, funções contínuas, teoremas de Bolzano e Weierstrass), derivadas (motivação geométrica e definição, cálculo de derivadas funções elementares e propriedades algébricas, derivada da função composta da função inversa, anulamento da derivada nos extremos locais, Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy, aplicações à determinação de extremos de funções, intervalos de monotonia e ao esboço de gráficos, segunda derivada e concavidade; indeterminações, Regra de L'Hôpital), primitivas e integrais (primitivas de funções elementares, primitivação por partes e por substituição, conceito de área,  integral de uma função limitada num intervalo, propriedades básicas dos integrais, Teorema Fundamental do Cálculo e consequências, cálculo de integrais, integrais impróprios: caso das funções contínuas definidas em intervalos não limitados e caso das funções contínuas não limitadas num intervalo), aproximações poilnomiais (polinómio de Taylor, tangência de grau n de uma função ao seu polinómio de Taylor de ordem n num ponto fixado, resto, cálculo de valores aproximados de funções).

Modo de trabalho

Presencial

Programa

1. Números Reais: estrutura algébrica, ordem, completude
2. Funções: injectividade, sobrejectividade, imagem e imagem recíproca de conjuntos, composição, função inversa, monotonia, máximos e mínimos; sucessões como exemplos de funções; gráficos
3. Limites e Continuidade: definição e unicidade de limite de uma função num ponto, limites laterais e aritmética de limites; limites no infinito, limites infinitos e assímptotas. Funções contínuas; teoremas de Bolzano e Weierstrass
4. Derivadas: motivação geométrica e definição; cálculo de derivadas funções elementares e propriedades algébricas; derivada da função composta da função inversa; anulamento da derivada nos extremos locais; Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy; aplicações à determinação de extremos de funções, intervalos de monotonia e ao esboço de gráficos; segunda derivada e concavidade; indeterminações, Regra de L'Hôpital
5. Primitivas e Integrais: primitivas de funções elementares; primitivação por partes e por substituição; conceito de área,  integral de uma função limitada num intervalo; propriedades básicas dos integrais; Teorema Fundamental do Cálculo e consequências, cálculo de integrais; integrais impróprios: caso das funções contínuas definidas em intervalos não limitados e caso das funções contínuas não limitadas num intervalo. 
6. Aproximações poilnomiais: polinómio de Taylor, tangência de grau n de uma função ao seu polinómio de Taylor de ordem n num ponto fixado, resto, cálculo de valores aproximados de funções.

Bibliografia Obrigatória

Gabriela Chaves; Análise Real I - Aulas teóricas (Slides das aulas teóricas disponibilizados na página da disciplina)
Gabriela Chaves; Análise Real (Texto disponibilizado na página da disciplina)

Bibliografia Complementar

Michael Spivak; Calculus. ISBN: 0-914098-89-6
Joseph W. Kitchen Jr.; Calculus
Robert A. Adams; Calculus. ISBN: 0-201-39607-6

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

As horas de contacto estão distribuídas em aulas teóricas e teórico-práticas. Nas primeiras são apresentados os conteúdos do programa, recorrendo-se a exemplos para ilustrar os conceitos tratados e orientar os estudantes. Nas aulas teórico-práticas são resolvidos exercícios e problemas, previamente indicados. São disponibilizados materiais de apoio na página da disciplina. Para além das aulas, há períodos de atendimento semanais onde os estudantes têm oportunidade de esclarecer dúvidas.

Software

Wolfram Player

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Teste	100,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	159,00
Frequência das aulas	84,00
Total:	243,00

Obtenção de frequência

Não é exigida nenhuma condição para obtenção de frequência.

Fórmula de cálculo da classificação final

Serão realizados dois testes, um durante o semestre, o outro durante a época normal de exames; serão ambos cotados para 10 valores.

Para ter aprovação é necessário ter a classificação mínima de 3 valores no primeiro teste e de 4 valores no segundo.

A classificação final será a soma das classificações dos dois testes.

Caso não sejam permitidos pela faculdade, por razões de ordem maior, testes presenciais durante o semestre, os dois testes serão feitos no dia destinado ao exame da época normal sendo a duração de acordo com as regras impostas pela FCUP. 

Haverá um exame na época de recurso, acessível a qualquer aluno que não tenha obtido aprovação na época normal.

Tanto na época normal como na época de recurso poderá ser exigida uma prova complementar para atribuição de classificações superiores a 16 valores.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Qualquer exame requerido ao abrigo de estatutos especiais constará de uma prova escrita que poderá ser precedida de uma prova (oral ou escrita) eliminatória, destinada a avaliar se o aluno está em condições mínimas de tentar obter aprovação à disciplina na prova escrita. Caso tal não se verifique (isto é  aluno não tem conheciment minimo para ir a exame) o auno será reprovado sem ir a exame escrito.

Observações

A qualquer aluno pode ser exigida a realização de uma prova oral para esclarecer dúvidas que tenham surgido relativamente às provas ou trabalhos de avaliação.