Álgebra Linear e Geometria Analítica I

Código:

M1010

Sigla:

M1010

Nível:

100

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2021/2022 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:B	0	Plano de Estudos Oficial	3	-	9	84	243
L:CC	1	Plano estudos a partir do ano letivo 2021/22	2	-	9	84	243
L:F	1	Plano de Estudos Oficial	2	-	9	84	243
			3
L:G	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2017/18	2	-	9	84	243
			3
L:M	109	Plano de Estudos Oficial	1	-	9	84	243
L:Q	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2016/17	3	-	9	84	243

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Compreensão e capacidade de utilização dos conceitos e resultados básicos relacionados com os assuntos constantes do programa.

Resultados de aprendizagem e competências

Ao completar esta unidade curricular, o estudante deve saber, compreender e ser capaz de utilizar as noções e resultados básicos sobre espaços vectoriais; subespaços vectoriais; somas de subespaços; somas directas de subespaços; independência linear; sistemas de geradores; espaços vectoriais finitamente gerados; bases; dimensão; aplicações lineares; núcleo e imagem de aplicações lineares; imagem inversa de um elemento; característica de uma aplicação linear; aplicações lineares; matrizes; matriz de uma aplicação linear relativamente a bases fixadas; mudança de base; aplicação destes conceitos e resultados à resolução de sistemas de equações lineares; matrizes semelhantes; determinantes; espaços euclidianos reais; produto interno, norma; ângulo entre dois vectores; produto vectorial em R^3; bases ortonormadas; complemento ortogonal; projecção ortogonal.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Programa

3. Determinates. Definição de determinante. O determinante de uma matriz e operações elementares sobre linhas. Relação entre o determinante ser zero e a característica da matriz não ser máxima; o Teorema de Laplace para o cálculo de determinantes e regra de Sarrus. Matriz adjunta, determinante da matriz adjunta. Cálculo da inversa de uma matriz (caso exista) usando a adjunta. Sistemas de Cramer e as suas soluções. O produto vectorial, propriedades e exemplos. Interpretação geométrica. O módulo do determinante de uma matriz 2×2 e de uma 3×3.                                                                           
4. Espaços vectoriais: Definição, propriedades e exemplos. Subespaços vectoriais. Subespaços vectoriais de R2 e de R3. Somas e intersecções de subespaços vectoriais de um espaço vectorial dado. O espaço das soluções de um sistema homogéneo. Construção das soluções de um sistema à custa de uma solução particular e das soluções do sistema homogéneo associado. Noção de combinação linear. Subespaço gerado por um conjunto e geradores de um espaço vectorial (exemplos). Dependência e independência linear. O resultado de Steinitz (“Steinitz exchange lemma"). O conceito de base e de dimensão de um espaço vectorial. Relação entre a dimensão do espaço gerado por vectores de Rn e a característica (de linha) da matriz cujas linhas correspondem aos vectores. A característica de coluna de uma matriz e demonstração de que coincide com a característica de linha.O conceito de base ordenada, noção de coordenadas relativamente a uma base e de matriz mudança de base. Demonstração de que as matrizes mudança de base são invertíveis e descrição da inversa. O produto de matrizes mudança de base. Somas directas de subespaços. Dimensão da soma de subespaços vectoriais de um espaço vectorial de dimensão finita e existência de complementares. Descrição dos subespaços vectoriais de um espaço vectorial de dimensão finita como conjunto solução de um sistema subespaços vectoriais; somas de subespaços; somas directas de subespaços; independência linear; sistemas de geradores; espaços vectoriais finitamente gerados; bases; dimensão. 
Descrição dos subespaços vectoriais de um espaço vectorial de dimensão finita como conjunto solução de um sistema linear homogéneo. Revisões sobre rectas e planos (que passam pela origem) em R2 e em R3.

5. Aplicações lineares; Definição e exemplos. A imagem de um subespaço por uma aplicação linear e a imagem recíproca e inversa de um subespaço do espaço de chegada. Definição de uma aplicação linear à custa dos vectores de uma base do espaço de partida. O subespaço de chegada enquanto subespaço gerado pelas imagens dos vectores de uma base do espaço de partida. Matriz de uma aplicação linear entre espaços vectoriais de dimensão finita. Relação entre matrizes de uma aplicação linear relativamente a bases diferentes. A composta de aplicações lineares e a sua matriz. Isomorfismos. Caracterização da matriz da inversa de uma aplicação linear como a inversa da matriz da aplicação linear. Núcleo de uma aplicação linear. Caracterização das aplicações lineares injectivas. O teorema das dimensões. A dimensão do espaço vectorial constituido pelas aplicações lineares entre espaços vectoriais de dimensão finita. Identificação entre matrizes e aplicaçoes lineares entre espaços vectoriais de dimensão finita uma vez fixada uma base. O determinante de um endomorfismo de um espaço vectorial de dimensão finita.

6. Espaços euclidianos reais; produto interno, norma; ângulo entre dois vectores; produto vectorial em R^3; bases ortonormadas; complemento ortogonal; projecção ortogonal.

Bibliografia Obrigatória

Anton Howard; Elementary linear algebra. ISBN: 0-471-66959-8
Edwards jr. C. H.; Elementary linear algebra. ISBN: 0-13-258245-7
Monteiro António; Álgebra linear e geometria analítica. ISBN: 972-8298-66-8
Mansfield Larry E.; Linear algebra with geometric applications. ISBN: 0-8247-6321-1
Ana Paula Santana; Introdução à álgebra linear. ISBN: 978-989-616-372-3

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

As horas de contacto estão distribuídas em aulas teóricas e teórico-práticas. Nas primeiras são apresentados os conteúdos do programa, recorrendo-se a exemplos para ilustrar os conceitos tratados e orientar os estudantes. Nas aulas teórico-práticas são resolvidos exercícios e problemas, previamente indicados. São disponibilizados materiais de apoio na página da disciplina. Para além das aulas, há períodos de atendimento semanais onde os estudantes têm oportunidade de esclarecer dúvidas.

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Geometria
Ciências Físicas > Matemática > Álgebra

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Teste	100,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	159,00
Frequência das aulas	84,00
Total:	243,00

Obtenção de frequência

Não há frequência obrigatória.

Fórmula de cálculo da classificação final

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Qualquer exame requerido ao abrigo de estatutos especiais constará de uma prova escrita que poderá ser precedida de uma prova (oral ou escrita) eliminatória, destinada a avaliar se o aluno está em condições mínimas de tentar obter aprovação à disciplina na prova escrita. Caso tal não se verifique (isto é  aluno não tem conheciment minimo para ir a exame) o auno será reprovado sem ir a exame escrito.

Melhoria de classificação

Exame. Os alunos que estejam a fazer melhoria não o podem fazer por testes.

Observações

A qualquer aluno pode ser exigida a realização de uma prova oral para esclarecer dúvidas que tenham surgido relativamente às provas ou trabalhos de avaliação.