Teoria de Números e Aplicações

Código:

M3015

Sigla:

M3015

Nível:

300

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2018/2019 - 1S

Ativa?	Sim
Página Web:	https://moodle.up.pt/course/view.php?id=372
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Biologia

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:B	2	Plano de Estudos Oficial	3	-	6	56	162
L:CC	9	Plano de estudos a partir de 2014	2	-	6	56	162
			3
L:F	1	Plano de Estudos Oficial	2	-	6	56	162
			3
L:G	1	Plano estudos a partir do ano letivo 2017/18	3	-	6	56	162
L:M	47	Plano de Estudos Oficial	2	-	6	56	162
			3
L:Q	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2016/17	3	-	6	56	162
MI:ERS	3	Plano Oficial desde ano letivo 2014	2	-	6	56	162

Língua de trabalho

Português - Suitable for English-speaking students

Objetivos

Introduzir os conceitos e resultados básicos de Teoria dos Números e alguns dos seus aspectos computacionais. Dar algumas das suas aplicações criptográficas.

Resultados de aprendizagem e competências

Conhecer os conceitos e resultados básicos de Teoria dos Números, assim como alguns dos seus aspectos computacionais e algumas das suas aplicações criptográficas.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

M141 Álgebra Linear I

M142 Álgebra Linear II

CC101 Introdução à Programação

Programa

1. Introdução à disciplina; Números (axiomas de Peano, indução, bem-ordenação)
2. Factorização única em Z
3. Factorização única em k[x]
4. Inteiros de Gauss e aplicação da factorização única
5. Funções aritméticas
6. Congruências
7. Raízes primitivas e o grupo das unidades U(Z/nZ)
8. Conjetura de Artin, resíduos da n-esima potência
9. Resíduos quadraticos
10. Lei da reciprocidade quadrática
11.  Simbolo de Legendre e Demonstração da lei da reciprocidade quadrática
12. Numeros algébricas e inteiros algébricas
13. Soma quadratica de Gauss
14. Introdução a teoria de números algébricos
15. Fatorização única em corpos de números algébricos
16. Criptografia Cifras clássicas: Cifra de César, cifra com palavras chaves, cifra de Vigenère
17. Public Key Cryptography: Deffie-Hellman RSA
18. Algoritmo rápido para calcular potências mod n. Sistema criptográfica de ElGamal
19. Corpos finitos e Algebra linear sobre corpos finitos.
20. Demonstração do Teorema que diz que o grupo multiplicativo de um corpo finito é cíclico. Exemplos.
21. Curvas elipticas. Definição da estrutura de grupo. Exemplos de curvas elípticas sobre corpos finitos.

Bibliografia Obrigatória

Ireland Kenneth; A classical introduction to modern number theory. ISBN: 0-387-90625-8

Bibliografia Complementar

Vinogradov I. M.; Elements of number theory. ISBN: 0-486-60259-1
Shoup Victor; A computational introduction to number theory and algebra. ISBN: 0-521-85154-8 (Disponível gratuitamente em http://www.shoup.net/ntb)
Menezes Alfred J.; Handbook of applied cryptography. ISBN: 0-8493-8523-7 (Disponível gratuitamente em http://www.cacr.math.uwaterloo.ca/hac)
Endler O.; Teoria dos Números Algébricos

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Aulas teóricas com apresentação teórica da matéria e ilustração através de exemplos.
Aulas teorico-práticas com resolução de problemas concretos pelos estudantes.

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Teste	100,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	106,00
Frequência das aulas	56,00
Total:	162,00

Obtenção de frequência

Não é exigida assiduidade.

Fórmula de cálculo da classificação final

1. Na época normal a classificação será a soma das classificações obtidas em 2 testes:
Teste 1: terá a cotação de 10 valores e terá lugar durante o período de aulas, em data a combinar com os estudantes. Nota mínima neste teste: 2 valores.

Teste 2: terá a cotação de 10 valores e terá lugar num dos dias previstos para finalização da avaliação distribuída. Nota mínima neste teste: 2 valores.


2. Na época de recurso a classificação será a obtida num exame com a cotação de 20 valores.
Mantém-se o requisito de nota mínima de 2 valores em cada uma das duas partes.

Provas e trabalhos especiais

2 testes + exame de recurso