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Teoria de Números e Aplicações

Código: M3015     Sigla: M3015     Nível: 300

Áreas Científicas
Classificação Área Científica
OFICIAL Matemática

Ocorrência: 2018/2019 - 1S Ícone do Moodle

Ativa? Sim
Página Web: https://moodle.up.pt/course/view.php?id=372
Unidade Responsável: Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável: Licenciatura em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla Nº de Estudantes Plano de Estudos Anos Curriculares Créditos UCN Créditos ECTS Horas de Contacto Horas Totais
L:B 2 Plano estudos a partir do ano letivo 2016/17 3 - 6 56 162
L:CC 9 Plano de estudos a partir de 2014 2 - 6 56 162
3
L:F 1 Plano estudos a partir do ano letivo 2017/18 2 - 6 56 162
3
L:G 1 Plano estudos a partir do ano letivo 2017/18 3 - 6 56 162
L:M 47 Plano estudos a partir do ano letivo 2016/17 2 - 6 56 162
3
L:Q 0 Plano estudos a partir do ano letivo 2016/17 3 - 6 56 162
MI:ERS 3 Plano Oficial desde ano letivo 2014 2 - 6 56 162

Docência - Responsabilidades

Docente Responsabilidade
Christian Edgar Lomp Regente

Docência - Horas

Teorico-Prática: 4,00
Tipo Docente Turmas Horas
Teorico-Prática Totais 1 4,00
Christian Edgar Lomp 4,00
Mais informaçõesA ficha foi alterada no dia 2018-09-18.

Campos alterados: Componentes de Avaliação e Ocupação

Língua de trabalho

Português - Suitable for English-speaking students

Objetivos

Introduzir os conceitos e resultados básicos de Teoria dos Números e alguns dos seus aspectos computacionais. Dar algumas das suas aplicações criptográficas.

Resultados de aprendizagem e competências

Conhecer os conceitos e resultados básicos de Teoria dos Números, assim como alguns dos seus aspectos computacionais e algumas das suas aplicações criptográficas.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

M141 Álgebra Linear I

M142 Álgebra Linear II

CC101 Introdução à Programação

Programa

1. Introdução à disciplina; Números (axiomas de Peano, indução, bem-ordenação)
2. Factorização única em Z
3. Factorização única em k[x]
4. Inteiros de Gauss e aplicação da factorização única
5. Funções aritméticas
6. Congruências
7. Raízes primitivas e o grupo das unidades U(Z/nZ)
8. Conjetura de Artin, resíduos da n-esima potência
9. Resíduos quadraticos
10. Lei da reciprocidade quadrática
11.  Simbolo de Legendre e Demonstração da lei da reciprocidade quadrática
12. Numeros algébricas e inteiros algébricas
13. Soma quadratica de Gauss
14. Introdução a teoria de números algébricos
15. Fatorização única em corpos de números algébricos
16. Criptografia Cifras clássicas: Cifra de César, cifra com palavras chaves, cifra de Vigenère
17. Public Key Cryptography: Deffie-Hellman RSA
18. Algoritmo rápido para calcular potências mod n. Sistema criptográfica de ElGamal
19. Corpos finitos e Algebra linear sobre corpos finitos.
20. Demonstração do Teorema que diz que o grupo multiplicativo de um corpo finito é cíclico. Exemplos.
21. Curvas elipticas. Definição da estrutura de grupo. Exemplos de curvas elípticas sobre corpos finitos.

Bibliografia Obrigatória

Ireland Kenneth; A classical introduction to modern number theory. ISBN: 0-387-90625-8

Bibliografia Complementar

Vinogradov I. M.; Elements of number theory. ISBN: 0-486-60259-1
Shoup Victor; A computational introduction to number theory and algebra. ISBN: 0-521-85154-8 (Disponível gratuitamente em http://www.shoup.net/ntb)
Menezes Alfred J.; Handbook of applied cryptography. ISBN: 0-8493-8523-7 (Disponível gratuitamente em http://www.cacr.math.uwaterloo.ca/hac)
Endler O.; Teoria dos Números Algébricos

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Aulas teóricas com apresentação teórica da matéria e ilustração através de exemplos.
Aulas teorico-práticas com resolução de problemas concretos pelos estudantes.

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Designação Peso (%)
Teste 100,00
Total: 100,00

Componentes de Ocupação

Designação Tempo (Horas)
Estudo autónomo 106,00
Frequência das aulas 56,00
Total: 162,00

Obtenção de frequência

Não é exigida assiduidade.

Fórmula de cálculo da classificação final

1. Na época normal a classificação será a soma das classificações obtidas em 2 testes:
Teste 1: terá a cotação de 10 valores e terá lugar durante o período de aulas, em data a combinar com os estudantes. Nota mínima neste teste: 2 valores.

Teste 2: terá a cotação de 10 valores e terá lugar num dos dias previstos para finalização da avaliação distribuída. Nota mínima neste teste: 2 valores.


2. Na época de recurso a classificação será a obtida num exame com a cotação de 20 valores.
Mantém-se o requisito de nota mínima de 2 valores em cada uma das duas partes.

Provas e trabalhos especiais

2 testes + exame de recurso
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