Métodos Numéricos

Código:

EMG0012

Sigla:

MN

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Ciências Físicas (Matemática)

Ocorrência: 2024/2025 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Engenharia Civil e Georrecursos
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Engenharia de Minas e Geo-Ambiente

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L.EA	62	Plano Oficial	2	-	6	52	162
L.EMG	29	Plano de estudos oficial a partir de 2008/09	2	-	6	52	162

Língua de trabalho

Português - Suitable for English-speaking students

Objetivos

A disciplina pretende em primeiro lugar fornecer aos estudantes competências sólidas no cálculo numérico. Será organizada por tópicos, cobrindo os problemas de representação numérica, a resolução de equações e sistemas de equações algébricas e diferenciais, a integração definida, a optimização não linear e o ajuste de curvas.

 

O estudante deverá:

 

 

• desenvolver a capacidade de identificar os problemas numéricos, propondo diferentes metodologias de resolução, escolhendo e implementando adequadamente um método de resolução. A escolha decorrerá de um processo de experimentação;

 

• compreender o enquadramento dos métodos numéricos no contexto da engenharia, pelo que os problemas propostos serão, sempre que possível, situações concretas da engenharia, de forma a que o método numérico seja entendido no seu contexto de aplicação;

 

• desenvolver a capacidade crítica, pelo que os resultados obtidos serão sempre objecto de crítica, quer em termos do método, quer em termos da implementação, quer em termos do próprio problema.

 

 

Como o enfoque da disciplina não é a algoritmia dos métodos mas a compreensão da sua aplicabilidade e da sua implementação, as ferramentas informáticas mais usadas nas aulas serão as que fornecem uma maior clareza no processo de cálculo, rapidez de desenvolvimento e flexibilidade,essencialmente 'super máquinas de calcular', como são as folhas de cálculo, os manipuladores algébricos ou matriciais.

 

Dominado o processo numérico, é pedido ao aluno que faça a sua implementação usando ferramentas mais eficientes, mas menos flexíveis e de maior exigência em termos de preparação, como são as linguagens de programação.

 

Resultados de aprendizagem e competências

Espera-se que o estudante tenha adquirido a capacidade de:

• Reconhecer os problemas de engenharia para os quais a resolução numérica é adequada;

 

• Propor solução numérica para um problemas dado, comparando e escolhendo métodos apropriados;

 

• Identificar as dificuldades dessa solução;

 

• Criticar os resultados obtidos;

 

• Implementar essa solução com razoável eficiência computacional.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Análise Matemática, Álgebra, Programação.

 

Capacidade de utilização de ambientes interativos de cálculo - follhas de cálculo, calculadoras, CAS.
Familiaridade com linguagens de programação de computadores.

Programa

 

• Representação numérica de quantidades;

 

• O erro em métodos numéricos;

 

• Zeros de funções reais - Métodos: Bissecções, Falsa Posição, Falsa Posição Modificado, Picard-Peano, Newton;

 

• Sistemas de equações não-lineares - Métodos: Newton, Aproximações Sucessivas ou Picard-Peano, Seidel;

 

• Sistemas de equações lineares - Métodos Directos e Iterativos ( Gauss, Cholesky, Seidel);

 

• Quadratura e Cubatura - Métodos: Trapézios, Simpson;

 

• Integração de equações diferenciais de 1ª e de 2ª ordem - Métodos: Euler, Euler Melhorado, Runge-Kutta de 2ª e de 4ª ordem; 

 

• Optimização uni e multidimensional, não linear convexa - Métodos: Pesquisa, Secção áurea, Quádrica, Gradiente, Levenberg-Marquardt;

 

• Ajuste de curvas – método dos mínimos quadrados.

Bibliografia Obrigatória

Carlos Madureira, Cristina Vila, José Soeiro Carvalho; Métodos Numéricos, um curso para o Mestrado Integrado em Engenharia Informática e Computadores da FEUP, 2009 (disponível no servidor e-learning)
Steven C. Chapra, Raymond P. Canale; Numerical methods for engineers. ISBN: 0-07-112180-3

Bibliografia Complementar

S. D. Conte, Carl de Boor; Elementary numerical analysis. ISBN: 0-07-012447-7
Germund Dahlquist; Numerical methods. ISBN: 0-13-627315-7
Ward Cheney, David Kincaid; Numerical mathematics and computing. ISBN: 978-0-495-11475-8

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

As aulas teórico-práticas são todas apoiadas em recursos informáticos, recorrendo-se por vezes à máquina de calcular. Nestas aulas as peças de software mais utilizadas são o MAXIMA, MATLAB, folha de cálculo, para além dos ambientes e linguagens de programação.

Propõe-se aos estudantes que desenvolvam programas (numa linguagem de programação à sua escolha) para a resolução dos exercícios dados nas aulas, e que ao mesmo tempo explorem os problemas em termos de precisão, eficiência e robustez quer dos métodos quer dos meios de cálculo.

Aos estudantes serão propostos desafios ao longo das aulas, que consistirão em pequenos problemas de resposta não trivial.
Em qualquer aula poderão ser postos aos estudantes pequenos testes de avaliação de conhecimentos.

Software

Maxima
folha de cálculo
Matlab

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Matemática aplicada > Matemática para a engenharia
Ciências Físicas > Matemática > Matemática aplicada > Análise numérica

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	50,00
Teste	40,00
Participação presencial	10,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	110,00
Frequência das aulas	52,00
Total:	162,00

Obtenção de frequência

Para a obtenção de frequência à disciplina, os estudantes não poderão exceder o número limite de faltas às aulas (o registo de presenças far-se-à em todas as aulas).

Fórmula de cálculo da classificação final

A avaliação de frequência será feita em dois testes (Ti), sem recurso, sendo a falta classificada com zero (0).


Para aceder ao exame de primeira época, é condição necessária que a média dos testes seja maior ou igual a 5,0 valores (MTi >= 5,0) .

A componente presencial será da discrição dos docentes, e depende, entre outras observações, da assiduidade, da participação nas aulas, da resposta aos problemas de sala.

A nota final da primeira época será calculada pela fórmula: 

NE1 = 0,4* MTi +0,5*NE +0,1 P

sendo: 
MTi - média da nota dos testes;
NE1 - Nota da primeira época; 
P - classificação presencial

Quem não obtiver aprovação na 1ª época, submeter-se-à a exame de recurso. 

A classificação da época de recurso é o maior valor obtido ponderando o exame de recurso e a avaliação distribuída ou apenas o exame de recurso. 

NER = max( 0,4* MTi + 0,1 P +0.5*NR ; NR) 

em que :
NER - nota da época de recurso 
NR - nota do exame de recurso 

Notas superiores a 18 serão objecto de defesa oral. 

Provas e trabalhos especiais

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Os estudantes com estatuto especial, ou com frequência anterior, podem optar entre o modo de avaliação acima referido ou o modo de avaliação "apenas com exame final", devendo comunicar a sua escolha ao regente da UC até à quarta aula teórica. Senão o fizerem, ser-lhes à permitido apenas o acesso ao exame de recurso.

Melhoria de classificação

A melhoria de classificação a esta disciplina far-se-à através de exame global, coincidente com a época de recurso.