Matemática I

Código:

L.BIO002

Sigla:

MATI

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Ciências de Base (Matemática, Física, Química, Biologia)

Ocorrência: 2023/2024 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Engenharia Civil
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Bioengenharia

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L.BIO	129	Plano Oficial do ano letivo	1	-	6	52	162

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Pretende-se que os alunos adquiram conhecimentos teóricos e práticos básicos sobre Álgebra Linear e Geometria Analítica e ainda sobre Cálculo Diferencial e Integral para funções reais de uma variável real.

Resultados de aprendizagem e competências

Os resultados de aprendizagem e as competências esperadas no fim deste semestre devem ser:

1 - Efectuar as operações com matrizes.
2 - Calcular determinantes de qualquer ordem e saber utilizar as suas principais propriedades.
3 -Classificar e discutir sistemas de equações lineares quanto ao tipo de soluções e resolução dos sistemas pelo método de eliminação de Gauss.
4 - Analisar a dependência e independência linear de um conjunto de vetores em R2 e R3.
5 - Determinar a dimensão e construir bases para subespaços de R2 e R3.
6 -Determinar valores e vetores próprios de uma matriz bem como os respectivos subespaços próprios.
7 - Calcular a projeção ortogonal, o produto interno e o produto externo entre 2 vetores.
8 - Obter as funções inversas das funções trigonométricas bem como conhecer as suas derivadas.
9 - Calcular primitivas pelos métodos de substituição e partes.
10 - Calcular primitivas de frações racionais.
11 - Calcular integrais definidos usando os teoremas fundamentais.
12 - Calcular áreas de regiões planas usando integrais definidos.

Modo de trabalho

Presencial

Programa

A - Tópicos de Álgebra Linear e de Geometria Analítica

I – Matrizes: definição, dimensão e operações. O caso especial das matrizes quadradas: matrizes triangulares, matrizes simétricas e transposição de matrizes. Matriz inversa e suas propriedades. Matrizes ortogonais. Potência de uma matriz.  Método da condensação de matrizes.

II – Determinantes: definição e propriedades; cálculo de determinantes – Teorema de Laplace; aplicações dos determinantes à determinação da matriz inversa e da característica de uma matriz.

III – Sistemas de equações lineares: sistemas homogéneo e não homogéneo; espaço vetorial das soluções; forma matricial dos sistemas; discussão e resolução de sistemas – método de Gauss-Jordan; regras de Cramer.

IV – Espaços vetoriais: definição; o caso de Rn; subespaços vetoriais; dependência e independência linear; bases e dimensão.

V – Valores próprios e vetores próprios: definição; polinómio característico e determinação dos valores próprios de uma matriz; subespaço próprio associado a um valor próprio.

VI – Geometria analítica: norma de um vetor; projecção ortogonal de um vetor sobre outro; produto interno ou escalar; produto vetorial ou externo e produto misto em R3.

B – Cálculo diferencial e integral de funções reais de variável real

I – Revisão de algumas funções reais de variável real: a função exponencial e logarítmica. Suas propriedades e gráficos. Breve revisão dos conceitos de limite e continuidade e suas aplicações a algumas funções; estudo de indeterminações; funções trigonométricas e suas inversas; funções hiperbólicas.

II – Derivação: definição e interpretação da derivada; regras de derivação da função composta e da função inversa; problemas de aplicação ao crescimento das funções e à determinação de máximos e mínimos; exemplo do crescimento exponencial e da curva logística; regra de l’Hôpital; noção de diferencial.

III – Primitivação: definição de primitiva ou antiderivada; exemplos imediatos; regras elementares; primitivação por substituição e por partes; decomposição e primitivação de frações racionais. Primitivação de algumas expressões trigonométricas.

IV - Integral de Riemann num intervalo [a,b]: definição através das somas de Riemann; propriedades básicas; teorema fundamental do cálculo; aplicações do integral ao cálculo de áreas ; valor médio de uma função e teorema do valor médio.

Bibliografia Obrigatória

James Stewart; Cálculo. ISBN: 85-221-0235-X (vol. 1)
Cabral, I., Perdigão, C., Saiago, C.; Álgebra, Escolar Editora, 2009. ISBN: 978-972-592-239-2
Howard Anton; Elementary linear algebra. ISBN: 9781119666141
Howard Anton; Cálculo. ISBN: 978-85-60031-63-4

Bibliografia Complementar

Giraldes,E., Fernandes,V.H., Santos,M.H.; Curso de Algebra Linear e Geometria Analitica, McGraw-Hill, 1994
Larson, Hostetler, Edwards; Cálculo, 8ª ed., vol1, McGraw-Hill, 2006

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Nas aulas teórico-práticas, haverá exposição da matéria teórica com exemplos de aplicação. Nas aulas práticas serão resolvidos pelos estudantes exercícios propostos, com orientação e acompanhamento do professor. É maximizada a interação com os estudantes durante as aulas. 

A unidade curricular é complementada com uma página Moodle onde, para além de todo o material pedagógico de apoio (acetatos, apontamentos, folhas de exercícios, resoluções, vídeos, etc.), são disponibilizadas atividades de autoavaliação on-line para possibilitar a aferição do ensino/aprendizagem.

Software

Matlab

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Teste	90,00
Trabalho prático ou de projeto	10,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	106,00
Frequência das aulas	56,00
Total:	162,00

Obtenção de frequência

Nos termos das normas gerais de avaliação um aluno obterá frequência se o número de faltas às aulas não exceder 25% das aulas previstas.

Fórmula de cálculo da classificação final

Esta UC tem avaliação distribuída sem exame final. Assim, a classificação final (CF) é definida por:

CF = máximo{0,45 x nota do MT1 + 0,45 x nota do MT2 + 0.1 x MDL; 0,5 x nota do MT1 + 0,5 x nota do MT2}

onde:

- MT1: 1º Mini-Teste,

- MT2: 2º Mini-Teste, (que só incluirá a matéria posterior ao 1º miniteste);

- MDL: média das notas de atividades no Moodle ao longo do semestre

Caso os estudantes não obtenham aprovação através da avaliação distribuída ou pretendam realizar melhoria de nota, poderão realizar um teste de recurso relativo a uma única parte da matéria (1º Mini-Teste de Recurso - MTR1 para a parte de Cálculo ou 2º Mini-Teste de Recurso - MTR2 para a parte de Álgebra) ou realizar um exame de recurso Global (ER). Desta forma a classificação final (CFR) da época de recurso será:

CFR=nota do ER (se faz exame global)

Ou

CFR=0,5 x nota do MTR1 + 0,5 x nota do MT2 (se 'repete' o MT1 - Cálculo)

Ou

CFR=0,5 x nota do MT1 + 0,5 x nota do MTR2 (se 'repete' MT2 - Álgebra)

Em qualquer dos casos, para obter uma classificação superior a 18 valores, o estudante deverá realizar uma prova suplementar.

Todas as componentes de avaliação são expressas na escala de 0 a 20 valores.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Exame final.

Melhoria de classificação

No exame de recurso.