Análise Matemática 3

Código:

L.EC011

Sigla:

AM3

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2023/2024 - 1S

Ativa?	Sim
Página Web:	http://moodle.up.pt
Unidade Responsável:	Departamento de Engenharia Civil e Georrecursos
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Engenharia Civil

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L.EC	209	Plano de estudos oficial	2	-	6	52	162

Língua de trabalho

Português

Objetivos

OBJETIVOS:

Estimular e motivar o estudante para a abordagem de problemas práticos modelados por equações diferenciais. Motivar o estudante para um conjunto de técnicas analíticas, numéricas e qualitativas, fundamentais para o estudo do comportamento de fenómenos e problemas de engenharia, modelados por equações diferenciais.

 

Resultados de aprendizagem e competências

COMPETÊNCIAS E RESULTADOS DE APRENDIZAGEM:

Conhecimento: Conhecer e descrever os conceitos fundamentais e métodos para resolver equações diferenciais. Identificar os principais conceitos associados à modelação matemática usando equações diferenciais.

Compreensão: Identificar e interpretar as diferentes técnicas a usar na resolução de problemas envolvendo equações diferenciais.

Aplicação: Desenvolver competências para resolver equações diferenciais. Saber aplicar os conhecimentos e a capacidade de compreensão e de resolução de problemas em situações novas e não familiares, em contextos alargados e multidisciplinares.

Análise: Analisar, discutir e fazer a interpretação crítica dos resultados, evidenciando as potencialidades dos métodos e as suas limitações.

Síntese: Formular soluções para problemas com equações diferenciais. Combinar as diferentes técnicas, analíticas, quantitativas e numéricas na resolução de equações diferenciais.

Avaliação: Criticar soluções e metodologias utilizadas. Ser capaz de comunicar as suas conclusões e os seus conhecimentos e raciocínios a elas subjacentes, de uma forma clara sem ambiguidades.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

CONHECIMENTOS PRÉVIOS:
O aluno deverá possuir os conhecimentos básicos das UCs de Álgebra, Análise Matemática 1 e 2.

Programa

Capítulo 1 –Equações Diferenciais de primeira ordem
Introdução ao estudo as equações diferenciais. Modelação matemática e equações diferenciais. Soluções, solução particular, solução geral e conjunto solução. Equações diferenciais de variáveis separáveis. Campo de direções e gráficos de soluções. Existência e unicidade da solução de um problema de valor inicial. Equações diferenciais de primeira ordem lineares. Mudança de variável. Equações diferenciais exatas. Introdução à Teoria Qualitativa das equações diferenciais. Soluções numéricas. Aplicação das equações diferenciais à resolução de problemas da ciência e engenharia.

Capítulo 2 - Equações Diferenciais de Ordem superior a 1
Solução geral de equações diferenciais lineares. Equações diferenciais lineares homogéneas. Equações diferenciais lineares homogéneas com coeficientes constantes. Equações diferenciais lineares não homogéneas. Aplicação ao estudo das vibrações mecânicas; oscilações forçadas e ressonância. Exemplos de equações diferenciais não-lineares.

Capítulo 3 - Sistemas de Equações Diferenciais Lineares de 1ª ordem
Sistemas de equações diferenciais de primeira ordem e aplicações. Matrizes e sistemas de equações diferenciais lineares.  Método dos valores próprios e vetores próprios e sistemas lineares.
Análise Qualitativa de sistemas de equações diferenciais lineares: Pontos de equilíbrio, estabilidade e representação do retrato de fase.

Capítulo 4 - Teoria Qualitativa de Sistemas de Equações Diferenciais não-lineares de 1ª ordem
Pontos de equilíbrio. Linearização de sistemas não-lineares em torno de um ponto de equilíbrio. Retrato de fase. Classificação dos pontos de equilíbrio quanto à estabilidade. Sistemas gradientes e sistemas Hamiltonianos. Propriedades.

Capítulo 5 – Transformada de Laplace e equações diferenciais
Definição e propriedades. Função de Heaviside e função Delta de Dirac. Resolução de Problemas de Valor Inicial.


Conteúdo Científico 80%
Conteúdo Tecnológico 20%

DEMONSTRAÇÃO DA COERÊNCIA DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS COM OS OBJETIVOS DA UNIDADE CURRICULAR:

Esta é uma unidade curricular, essencialmente formativa, coordena os conhecimentos teóricos fundamentais ao estudo de equações diferenciais com aplicação em vários fenómenos e problemas de engenharia. O conteúdo programático complementa a aprendizagem obtida nas unidades curriculares de Álgebra, Análise Matemática 1 e Análise Matemática 2, alargando as competências para a abordagem matemática de diferentes problemas de Engenharia.

Bibliografia Obrigatória

Maria do Carmo Coimbra; Equações diferenciais: uma primeira abordagem, Efeitos Gráficos Unipessoal Lda, 2022
Charles Henry Edwards; Differential Equations. ISBN: 0-13-067337-4

Bibliografia Complementar

George F. Simmons, Steven G. Krantz ; trad. Helena Maria de Ávila Castro; Equações diferenciais. ISBN: 978-85-86804-64-9
Stewart, James 1908-1997; Cálculo. ISBN: 85-211-0484-0
Adkins, William, Davidson, Mark G. ; Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag New York, 2012. ISBN: 978-1-4614-3618-8 (Access to this content is enabled by Universidade do Porto)
Paul Blanchard; Differential equations. ISBN: 0-495-01265-3

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Todos os temas da unidade curricular são abordados nas aulas teóricas e nas aulas teórico-práticas. As aulas de exposição teórica consistem em exposições orais onde a dedução e abstração é considerada fundamental. Nas aulas teóricas é dada ênfase à exposição de conceitos, princípios e teorias, fazendo uso frequente de exemplos de natureza física e geométrica.  Nas aulas teórico-práticas promove-se a discussão dos problemas propostos nas fichas de exercícios, sendo os estudantes incentivados a resolver individualmente ou em grupo esses problemas. As aulas são complementadas com uma página Moodle onde, para além de todo o material pedagógico de apoio, são disponibilizados testes de autoavaliação on-line para possibilitar a aferição do ensino/aprendizagem. É incentivado o uso de software (Octave/Matlab) e a simulação numérica é apresentada sempre que oportuno.

DEMONSTRAÇÃO DA COERÊNCIA DAS METODOLOGIAS DE ENSINO COM OS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM DA UNIDADE CURRICULAR:

Os estudantes são motivados para aplicar os conhecimentos e a capacidade de compreensão e de resolução de problemas descritos por equações diferenciais em situações novas, em contextos alargados e multidisciplinares.

Software

Octave
Matlab
Jupyter Notebook

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Análise matemática > Equações diferenciais

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Teste	20,00
Exame	70,00
Trabalho prático ou de projeto	10,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	110,00
Frequência das aulas	52,00
Total:	162,00

Obtenção de frequência

De acordo com os regulamentos.

Fórmula de cálculo da classificação final

Fórmula de cálculo da classificação final para notas superiores ou iguais a 7.5 no Exame Final:

CF = máximo { EX;  CAD }

onde,

EX – classificação do exame final presencial
CAD = 0.7xEF + 0.2xTS + 0.1xQZ

e

TS - Nota do Teste Sumativo, presencial
QZ - Média das notas em 3 atividades online (quizes)

Para notas de exame inferiores a 7.5 a nota final é a nota do exame, EF.

Para obter uma classificação de 18 valores ou superior, o estudante deverá realizar uma prova oral

A avaliação distribuída obtida em anos anteriores não é válida.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Exame Final.

Melhoria de classificação

Exame Final.

Observações