Álgebra

Código:

L.EC001

Sigla:

ALG

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2021/2022 - 1S

Ativa?	Sim
Página Web:	http://https://moodle.up.pt/course/view.php?id=1441
Unidade Responsável:	Secção de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Engenharia Civil

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L.EC	282	Plano de estudos oficial	1	-	6	58,5	162

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Aquisição dos conceitos fundamentais da Álgebra Linear e Matricial. Desenvolvimento da capacidade de cálculo formal algébrico e da formulação e resolução explícita de problemas algébricos, incluindo questões de Geometria Analítica.

Resultados de aprendizagem e competências

Definir espaços vetoriais, bases de espaços (de dimensão finita ou infinita), matrizes, transformações lineares, formas quadráticas, sistemas lineares, valores e vetores próprios, retas, planos e superfícies quadráticas.Determinar estas entidades em problemas concretos e resolver problemas que as envolvam e aplicar estes conceitos e as propriedades que envolvem a sua operacionalidade. Discutir validade de soluções, distinguir problemas com uma ou mais soluções. Formular problemas com componentes algébricas em termos matemáticos. Tirar conclusões a partir dos cálculos realizados ou por aplicação das propriedades ou teorias conhecidas.

Modo de trabalho

Presencial

Programa

Complementos de estruturas algébricas. Matrizes sobre um corpo.
Operações com matrizes: Adição; multiplicação por um escalar; multiplicação de matrizes. Matriz Transposta, conjugada e transconjugada de uma matriz. Matrizes especiais: rectangulares e quadradas ou de ordem n. Matriz identidade; diagonal; triangular; simétrica; hemi-simétrica; normal; hermitiana; hemi-hermitiana; unitária e ortogonal. Definição de matriz invertível. Propriedades da inversa de uma matriz de ordem n. Potência de uma matriz quadrada.
-Espaços Vectoriais
Definição e propriedades. Subespaços de um espaço vectorial. Dependência e independência linear. Sistemas de geradores. Conceitos de bases e dimensão. Matriz de mudança de coordenadas entre bases.
-Sistemas de Equações Lineares: Classificação de um sistema linear, Método de Gauss, Método de Gauss-Jordan. Forma escalonada e escalonada reduzida de uma matriz.
-Aplicações Lineares
Definição e Propriedades. Exemplos de aplicações lineares de R^2 em R^2 e de R^3 em R^3, tais como por exemplo: Rotações; simetrias; contrações; dilatações; etc. Monomorfismo, endomorfismo e isomorfimo. Núcleo e imagem de uma aplicação linear. Matriz de uma aplicação linear. Definição de aplicação linear sobrejectiva. Definição de aplicação linear injectiva. Definição de aplicação linear invertível, composição de aplicações lineares. Definição de característica de uma transformação linear. Alguns teoremas relevantes sobre aplicações lineares.
Classificação de um sistema linear.
-Determinantes
Definição e propriedades. Cálculo de determinantes utilizando o método de condensação de Gauss de uma matriz. Menores, menores complementares e complementos algébricos. Teorema de Laplace. Definição de matriz adjunta de uma matriz de ordem n, cálculo da matriz inversa de uma matriz invertível utilizando determinantes. Sistemas lineares e regra de Cramer.
Vectores e Valores Próprios
Definição de vector próprio e de valor próprio de um endomorfirmo de um espaço vectorial de dimensão finita sobre um corpo K. Definição de equação característica e polinómio característico de uma transformação linear sobre um corpo K. Teorema de Caley-Hamilton.
Subespaços próprios de um endomorfismo sobre um espaço vectorial de dimensão finita sobre um corpo K.
Definição de endomorfismo diagonalizável. Alguns teoremas relevantes sobre a diagonalização de endomorfismos.
- Espaços euclidianos
Espaço euclidiano real e espaço euclidiano complexo (unitário). Norma de um vector, desigualdade de Cauchy Schwarz. Conjunto ortogonal e ortonormal. Base ortonormada em espaços euclidianos de dimensão finita. Projecção ortogonal de um vector num subespaço de um espaço euclidiano de dimensão finita. Processo de Gram-Schmidt. Definição de produto interno e externo em R^3 e propriedades.
-Geometria Analítica
Espaços afins: uma breve introdução. Rectas e planos no espaço tridimensional. Problemas não métricos: Incidência e paralelismo. Problemas métricos. Distâncias e ângulos.

Bibliografia Obrigatória

Luís Almeida Vieira, Rui Soares Gonçalves; Álgebra linear, Volume 1- Cálculo matricial, sistemas lineares e espaços vetoriais, Efeitos Gráficos, 2021. ISBN: 978-989-53004-5-7
Luís Almeida Vieira, Rui Soares Gonçalves; Álgebra Linear - Volume 2 - Aplicações Lineares, determinantes e espaços euclidianos, Efeitos Gráficos, 2021. ISBN: 978-989-53004-6-4
Emília Giraldes; Curso de álgebra linear e geometria analítica. ISBN: 972-8298-02-1 (Compreende quase toda a matéria lecionada)
Isabel Cabral, Cecíilia Perdigão, Carlos Saiago; Álgebra Linear, Escolar Editora, 2009. ISBN: 9789725922392

Bibliografia Complementar

Rorres, Chris e Anton, Howard; Álgebra Linear com Aplicações, Bookman. ISBN: 9788540701694 (Excelente livro que apresenta aplicações da álgebra linear)
António Monteiro; Álgebra linear e geometria analítica. ISBN: 972-8298-66-8

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Unidade curricular essencialmente formativa, coordenando os conhecimentos teóricos fundamentais com desenvolvimentos necessários nas unidades curriculares que se seguem no plano de estudos. A este nível é fomentado o entendimento intuitivo dos conceitos e a capacidade de cálculo. As matérias são expostas de modo claro e objetivo nas aulas teóricas, fazendo uso frequente de exemplos retirados de outras unidades curriculares como a Física, a Mecânica 1, a Mecânica 2 e a Teoria das Estruturas. Nas aulas práticas, o aluno é encaminhado na resolução de problemas de aplicação das matérias lecionadas.DEMONSTRAÇÃO DA COERÊNCIA DAS METODOLOGIAS DE ENSINO COM OS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM DA UNIDADE CURRICULAR:Privilegia-se a coordenação entre os conhecimentos teóricos fundamentais com desenvolvimentos necessários nas unidades curriculares que se seguem no plano de estudos, sendo fomentado o entendimento intuitivo dos conceitos e a capacidade de cálculo. Pretende-se aplicar as matérias abordadas em problemas concretos que as envolvam e aplicar estes conceitos e as propriedades que envolvem a sua operacionalidade. Discutir validade de soluções, distinguir problemas com uma ou mais soluções. Formular problemas com componentes algébricas em termos matemáticos. Tirar conclusões a partir dos cálculos realizados ou por aplicação das propriedades ou teorias conhecidas.

Tipo de Avaliação: Avaliação distribuída sem exame final

Software

maxima

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Teste	100,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	145,00
Frequência das aulas	55,00
Total:	200,00

Obtenção de frequência

Condições de Frequência: A obtenção de classificação final exige o cumprimento de assiduidade à unidade curricular, conforme estabelecido nas regras de avaliação do MIEC. Considera‐se que um estudante cumpre a assiduidade a uma unidade curricular se, tendo estado regularmente inscrito, não exceder o número limite de faltas correspondente a 25% das aulas presenciais.

Fórmula de cálculo da classificação final

Fórmula de avaliação: A avaliação consiste em 2 provas escritas (ver calendáro do 1º ano). A não comparência a um momento de avaliação implica a  classificação de "0" na correspondente avaliação desse momento.
CF = classificação final, CT1 = classificação no 1º teste CT2 = classificação no 2º teste. Resultado da classificação na época normal:
CF = 0,4*CT1+0,6*CT2.
Os alunos admitidos a exame e reprovados na época normal têm acesso ao exame de recurso.
É requerida a nota mínima de 6 valores em em cada componente CT1 e CT2. A não obtenção dessa nota obriga o estudante a ir ao exame de recurso.
NOTA 1: Todos os estudantes inscritos na unidade curricular são classificados de acordo com este método, incluindo exames especiais.
NOTA 2: Os estudantes que cumpriram a frequência da unidade curricular em ano letivo anterior ficam dispensados de a obter neste ano letivo.
NOTA 3: Aos estudantes que frequentaram a unidade curricular em anos letivos anteriores não podem ser transferidas  as classificações de partes da avaliação que então realizaram.
NOTA 4: Aos estudantes que, no final de uma época de exames, tenham sido avaliados apenas numa das partes será atribuída a menção RFE.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

A  avaliação de estudantes que requerem exame especial é feita numa única prova escrita que substitui todas as anteriores.

Melhoria de classificação

A avaliação de estudantes que requerem exame de melhoria de classificação e que a realizem no exame de recurso segue os mesmos moldes do exame de recurso para os estudantes reprovados.

Observações

CONHECIMENTOS PRÉVIOS:
O estudante deverá ter conhecimentos básicos sobre trigonometria, cálculo de raízes e factorização de polinómios, funções reais a uma variável real, geometria analítica plana, sistemas de equações lineares e lógica.

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Tempo de trabalho estimado fora das aulas: 4 horas

LINK ZOOM PARA AS AULAS TEÓRICAS: 
https://videoconf-colibri.zoom.us/j/87691785442