Matemática I

Código:

EBE0001

Sigla:

MAT1

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Ciências de Base

Ocorrência: 2020/2021 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Engenharia Civil e Georrecursos
Curso/CE Responsável:	Mestrado Integrado em Bioengenharia

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
MIB	113	Plano de estudos oficial	1	-	6	56	162

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Pretende-se que os alunos adquiram conhecimentos teóricos e práticos básicos sobre Álgebra Linear e Geometria Analítica e ainda sobre Cálculo Diferencial e Integral para funções reais de uma variável real, de acordo com o programa indicado.

Resultados de aprendizagem e competências

Os resultados de aprendizagem e as competências esperadas no fim deste semestre devem ser:

1 - Analisar a dependência e independência linear de um conjunto de vetores em R2 e R3.
2 - Determinar a dimensão e construir bases para subespaços de R2 e R3.
3 - Efectuar as operações com matrizes, previstas no programa da U.C..
4 - Calcular determinantes de qualquer ordem e saber utilizar as suas principais propriedades.
5 -Classificação dos sistemas de equações lineares quanto ao tipo de soluções e resolução dos sistemas pelo método de eliminação de Gauss.
6 -Determinar valores e vetores próprios de uma matriz bem como os respectivos subespaços próprios.
7 - Calcular o ângulo, o produto interno e o produto externo entre 2 vetores.
8- Determinação das equações vetoriais, paramétricas e cartesianas de rectas e planos em R3.
9 - Obter as funções inversas das funções trigonométricas bem como conhecer as suas derivadas.
10 - Calcular primitivas pelos métodos de substituição e partes.
11 - Calcular primitivas de frações racionais.
12 - Calcular integrais definidos usando os teoremas fundamentais.
13 - Calcular áreas de regiões planas usando integrais definidos.

Modo de trabalho

Presencial

Programa

A - Tópicos de Álgebra Linear e de Geometria Analítica

I – Espaços vetoriais: definição; o caso de Rn; subespaços vetoriais; dependência e independência linear; bases e dimensão.

II – Matrizes: definição, dimensão e operações. O caso especial das matrizes quadradas: matrizes triangulares, matrizes simétricas e transposição de matrizes. Matriz inversa e suas propriedades. Matrizes ortogonais. Potência de uma matriz. Característica de uma matriz. Método da condensação de matrizes.

III – Determinantes: definição e propriedades; cálculo de determinantes – Teorema de Laplace; aplicações dos determinantes à determinação da matriz inversa e da característica de uma matriz.

IV – Sistemas de equações lineares: sistemas homogéneo e não homogéneo; espaço vetorial das soluções; forma matricial dos sistemas; discussão e resolução de sistemas – método de Gauss-Jordan; regras de Cramer.

V – Valores próprios e vetores próprios: definição; polinómio característico e determinação dos valores próprios de uma matriz; subespaço próprio associado a um valor próprio.

VI – Geometria analítica: norma de um vetor; ângulo de dois vetores, vetores colineares e perpendiculares; projecção ortogonal de um vetor sobre outro; produto interno e suas propriedades; produto interno, norma e distância em coordenadas numa dada base; produto vetorial ou externo e produto misto em R3; equação vetorial da reta e do plano; equações paramétricas e cartesianas.

B – Cálculo diferencial e integral de funções reais de uma variável real

I – Revisão de algumas funções reais de variável real: a função exponencial e logarítmica. Suas propriedades e gráficos. Breve revisão dos conceitos de limite e continuidade e suas aplicações a algumas funções; estudo de indeterminações; funções trigonométricas e suas inversas; funções hiperbólicas.

II – Derivação: definição e interpretação da derivada; regras de derivação da função composta e da função inversa; problemas de aplicação ao crescimento das funções e à determinação de máximos e mínimos; exemplo do crescimento exponencial e da curva logística; regra de l’Hôpital; noção de diferencial.

III – Primitivação: definição de primitiva ou antiderivada; exemplos imediatos; regras elementares; primitivação por substituição e por partes; decomposição e primitivação de frações racionais. Primitivação de algumas expressões trigonométricas.

IV - Integral de Riemann num intervalo [a,b]: definição através das somas de Riemann; propriedades básicas; teorema fundamental do cálculo; aplicações do integral ao cálculo de áreas ; valor médio de uma função e teorema do valor médio.

Bibliografia Obrigatória

Cabral, I., Perdigão, C., Saiago, C.; Álgebra, Escolar Editora, 2009. ISBN: 978-972-592-239-2
Carlos A. Conceição António; Análise Matemática I - Textos de Apoio, AEFEUP, 2007-2008
Larson, Hostetler, Edwards; Cálculo, 8ª ed., vol1, McGraw-Hill, 2006

Bibliografia Complementar

Giraldes,E., Fernandes,V.H., Santos,M.H.; Curso de Algebra Linear e Geometria Analitica, McGraw-Hill, 1994

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Sendo as aulas teórico-práticas, haverá períodos de exposição da matéria teórica, com exemplos resolvidos, seguidos de períodos de problemas propostos para resolução individual, acompanhada pelo professor. A exposição teórica será feita por gravação Panopto com apoio de slides. Tanto a exposição teórica como os exercícios práticos serão apoiados em apontamentos e folhas de exercícios fornecidas aos alunos.

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Participação presencial	0,00
Teste	100,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	102,00
Frequência das aulas	56,00
Total:	158,00

Obtenção de frequência

Nos termos das normas gerais de avaliação um aluno obterá frequência se o número de faltas às aulas não exceder 25% das aulas previstas.

Fórmula de cálculo da classificação final

A avaliação desta disciplina será feita do seguinte modo:

- 1º Mini Teste, MT1, realizado no Moodle à distância, em data e hora a comunicar aos alunos, com peso de 10%;

- 2º Mini Teste, MT2, realizado no Moodle à distância, em data e hora a comunicar aos alunos, e que só incluirá a matéria posterior ao MT1, com peso de 10%;

- Teste Final, T, realizado presencialmente, com toda a matéria, com peso de 80%.

- Exame, ER, será para alunos que ainda não tenham sido aprovados na UC e para melhoria de classificação.
A classificação final, CF, será assim dada por

CF=max{0,1xMT1+0,1xMT2+0,8xT ; T}

ou CF=ER

Provas e trabalhos especiais

 Durante o semestre poderão ser propostos exercícios para resolução individual, fora das aulas e por escrito. A entrega desses exercícios, convenientemente resolvidos, dará lugar a uma informação positiva (ou negativa) sobre o empenho do aluno relativamente a esta disciplina. No decurso das aulas os alunos poderão ser chamados a responder a questões sobre conceitos ou métodos já leccionados. Este facto dará também lugar a uma informação sobre o empenho do aluno relativamente a esta disciplina.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Nos termos das normas gerais de avaliação.

Melhoria de classificação

No exame de recurso.