Álgebra

Código:

EC0002

Sigla:

ALGE

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2020/2021 - 1S

Ativa?	Sim
Página Web:	https://moodle.up.pt/course/view.php?id=929
Unidade Responsável:	Secção de Matemática
Curso/CE Responsável:	Mestrado Integrado em Engenharia Civil

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
MIEC	276	Plano de estudos oficial a partir de 2006/07	1	-	7	75	187

Língua de trabalho

Português - Suitable for English-speaking students

Objetivos

JUSTIFICAÇÃO
Essencialmente, duas razões justificam a existência desta UC: a necessidade de desenvolvimento de um raciocínio lógico fundamentado cientificamente, da capacidade de argumentação e de comunicação em abordagens técnicas e científicas dos ramos da engenharia civil; a necessidade de aquisição de conhecimentos científicos de índole algébrica para utilização nas matérias a desenvolver nos restantes semestres do curso.

OBJECTIVOS
Aquisição dos conceitos fundamentais da Álgebra Linear e Matricial. Desenvolvimento da capacidade de cálculo formal algébrico e da formulação e resolução explícita de problemas algébricos, incluindo questões de Geometria Analítica.

Resultados de aprendizagem e competências

COMPETÊNCIAS E RESULTADOS DE APRENDIZAGEM
Definir espaços vetoriais, bases de espaços (de dimensão finita ou infinita), matrizes, transformações lineares, formas quadráticas, sistemas lineares, valores e vetores próprios, retas, planos e superfícies quadráticas.
Determinar estas entidades em problemas concretos e resolver problemas que as envolvam e aplicar estes conceitos e as propriedades que envolvem a sua operacionalidade.
Discutir validade de soluções, distinguir problemas com uma ou mais soluções.
Formular problemas com componentes algébricas em termos matemáticos.
Tirar conclusões a partir dos cálculos realizados ou por aplicação das propriedades ou teorias conhecidas.

Modo de trabalho

Presencial

Programa

Espaços vetoriais: definição e exemplos, subespaços, subespaços gerados, dependência linear; bases e dimensões. Matrizes: definição e exemplos, operações e suas propriedades, mudanças de base, breve referência a classes especiais de matrizes.
Transformações lineares: definição e exemplos, núcleo e imagem, injetividade e sobrejetividade, transformação linear inversa, projeções, simetrias, espaço vetorial das transformações lineares, representação matricial, inversões e rotações. Determinantes. Sistemas de Equações lineares: homogéneos e não homogéneos, discussão de sistemas.
Breve revisão sobre polinómios: irredutibilidade em R e em C, factorização, cálculo de raízes. Valores próprios e vetores próprios: subespaços invariantes, cálculo de elementos próprios, diagonalização de matrizes, formas canónicas (ilustração).  
Espaços euclidianos: produto escalar e norma em espaços de dimensão n,  projeções, produto vetorial, produto misto. Geometria analítica: o espaço n-dimensional afim, breve revisão sobre intersecções, paralelismo e perpendicularidade, distâncias e ângulos, posições relativas. Breve referência às superfícies algébricas.

DISTRIBUIÇÃO PERCENTUAL:
Componente científica: 100%

DEMONSTRAÇÃO DA COERÊNCIA DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS COM OS OBJETIVOS DA UNIDADE CURRICULAR:
Esta unidade curricular integra o grupo de unidades curriculares da área científica de Matemática, centrando-se sobretudo em fornecer aos estudantes uma formação sólida nos conceitos e no cálculo em álgebra linear e matricial. O conteúdo programático inclui a definição de espaços vetoriais, bases de espaços (de dimensão finita ou infinita), matrizes, aplicações lineares, formas quadráticas, sistemas lineares, valores e vetores próprios. Estas matérias são a base do cálculo algébrico e matricial, sendo expostas nas aulas teóricas e nas aulas práticas o estudante é encaminhado na resolução de problemas de aplicação com vários exemplos de outras unidades curriculares ligadas à área da Física e Mecânica.

Bibliografia Obrigatória

Emília Giraldes, Vitor Hugo Fernandes, Maria Helena Santos; Curso de álgebra linear e geometria analítica. ISBN: 972-9241-73-2 (Livro com exposição clara e de nível equilibrado, mas indisponível na editora)
Isabel Cabral, Cecíilia Perdigão, Carlos Saiago; Álgebra Linear, Escolar Editora, 2009. ISBN: 9789725922392

Bibliografia Complementar

António Monteiro; Álgebra Linear e geometria analitica, McGraw-Hill. ISBN: 972-8298-66-8 (Livro com exercícios resolvidos)
Anton Rorres; Elementary Linear Algebra with Applicattions, John Wiley, 2005. ISBN: 0471449024
Anton Rorres; Álgebra Linear com aplicações, Bookman, 2000. ISBN: 85-7307-847-2 (Livro de fácil leitura por qualquer aluno)
Elon Lages Lima ; Álgebra Linear e geometria analitica, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 1996. ISBN: 852440102-8
Sheldon Axler; Linear Algebra done right, Springer, 1997. ISBN: 0-387-98258-2

Observações Bibliográficas

Apontamentos editados pela responsável da UC dedicados a esta UC estão disponíveis na plataforma moodle da UP. Outra dcoumentação de apoio está também disponível nas páginas moodle.

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Unidade curricular essencialmente formativa, coordenando os conhecimentos teóricos fundamentais com desenvolvimentos necessários nas unidades curriculares que se seguem no plano de estudos. A este nível é fomentado o entendimento intuitivo dos conceitos e a capacidade de cálculo. As matérias são expostas de modo claro e objetivo nas aulas teóricas, fazendo uso frequente de exemplos retirados de outras unidades curriculares como a Física, a Mecânica 1, a Mecânica 2 e a Teoria das Estruturas. Nas aulas práticas, o aluno é encaminhado na resolução de problemas de aplicação das matérias lecionadas.

DEMONSTRAÇÃO DA COERÊNCIA DAS METODOLOGIAS DE ENSINO COM OS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM DA UNIDADE CURRICULAR:
Privilegia-se a coordenação entre os conhecimentos teóricos fundamentais com desenvolvimentos necessários nas unidades curriculares que se seguem no plano de estudos, sendo fomentado o entendimento intuitivo dos conceitos e a capacidade de cálculo. Pretende-se aplicar as matérias abordadas em problemas concretos que as envolvam e aplicar estes conceitos e as propriedades que envolvem a sua operacionalidade. Discutir validade de soluções, distinguir problemas com uma ou mais soluções. Formular problemas com componentes algébricas em termos matemáticos. Tirar conclusões a partir dos cálculos realizados ou por aplicação das propriedades ou teorias conhecidas.

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Álgebra

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Teste	100,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	145,00
Frequência das aulas	55,00
Total:	200,00

Obtenção de frequência

A obtenção de classificação final exige o cumprimento de assiduidade à unidade curricular, conforme estabelecido nas regras de avaliação do MIEC. Considera‐se que um estudante cumpre a assiduidade a uma unidade curricular se, tendo estado regularmente inscrito, não exceder o número limite de faltas correspondente a 25% das aulas presenciais.

Fórmula de cálculo da classificação final

A avaliação consiste em 2 provas escritas (ver calendáro do 1º ano) e na resposta a questões colocadas durante as aulas teóricas e práticas. A não comparência a um momento de avaliação implica a  classificação de "0" na correspondente avaliação desse momento. 

CF = classificação final
CT1 = classificação no 1º teste
CT2 = classificação no 2º teste
CTA1 = classificação obtida durante as aulas - 1ª Parte
CTA2 = classificação obtida durante as aulas - 2ª Parte

Resultado da classificação na época normal:
CF = 0,350*CT1+0,500*CT2+0,075*(CTA1+CTA2)

Os estudantes dispensados da frequência das aulas nos termos dos Regulamentos de Avaliação ficam também dispensados da componente de avaliação realizada durante as aulas. Nesse caso, o peso da classificação CTA1 e CTA2 é distribuído pelas outras duas componentes, passando os pesos a 0,425 e 0,575, repetivamente.

Os alunos admitidos a exame e reprovados na época normal têm acesso ao exame de recurso, podendo optar por realizar a prova sobre:
-  a 1ª parte da matéria, substituindo a classificação que obtiverem em CT1 e CTA1 na fórmula anterior;
- a 2ª parte da matéria,  substituindo a classificação que obtiverem em CT2 e CTA2 na fórmula anterior;
- toda a matéria, resultando numa única classificação CF


NOTA 1: Todos os estudantes inscritos na unidade curricular são classificados de acordo com este método, incluindo exames especiais.
NOTA 2: Os estudantes que cumpriram a frequência da unidade curricular em ano letivo anterior ficam dispensados de a obter neste ano letivo. Para isso terão de comunicar atempadamente a sua opção via moodle em local a designar, no prazo previsto no Regulamento, e enviando um email para smf@fe.up.pt, com nome completo e ano em que cumpriram a assiduidade.
NOTA 3: Aos estudantes que frequentaram a unidade curricular em anos letivos anteriores não podem ser transferidas  as classificações de partes da avaliação que então realizaram.
NOTA 4: No recurso, os estudantes terão de comunicar a prova que escolheram num prazo e formato a anunciar.
NOTA 5: Aos estudantes que, no final de uma época de exames, tenham sido avaliados apenas numa das partes será atribuída a menção RFE.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

A  avaliação de estudantes que requerem exame especial é feita numa única prova escrita que substitui todas as anteriores.

Melhoria de classificação

A avaliação de estudantes que requerem exame de melhoria de classificação e que a realizem no exame de recurso segue os mesmos moldes do exame de recurso para os estudantes reprovados.

Observações

CONHECIMENTOS PRÉVIOS:
O estudante deverá ter conhecimentos básicos sobre trigonometria, cálculo de raízes e factorização de polinómios, funções reais a uma variável real, geometria analítica plana, sistemas de equações lineares e lógica.

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Tempo de trabalho estimado fora das aulas: 4 horas