Sistemas Dinâmicos e Optimização

Código:

EMG0017

Sigla:

SDO

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2018/2019 - 2S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Engenharia de Minas
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Engenharia de Minas e Geo-Ambiente

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
LCEEMG	18	Plano de estudos oficial a partir de 2008/09	2	-	6	56	162

Língua de trabalho

Português - Suitable for English-speaking students

Objetivos

O lugar da disciplina no plano de estudos dita o seu papel de ligação entre as análises matemáticas e as disciplinas específicas do curso que têm subjacente um forte suporte matemático.
A disciplina está dividida em duas partes, a saber:
1ª parte - Sistemas Dinâmicos;
2ª parte - Optimização Linear.
Os objectivos da 1ª parte da disciplina são: Conhecimento (Knowledge):
- Relembrar os conceitos de função, variável independente, variável dependente;
- Aprender o conceito de sistema dinâmico;
- Classificar os sistemas dinâmicos a partir da equação diferencial e das condições iniciais;
- Operar com transformações integrais.
Compreensão (Comprehension):
- Rever o significado de equação diferencial ordinária;
- Identificar ordem de um sistema dinâmico;
- Fazer a destrinça entre sistemas lineares de não lineares, contínuos de discretos;
- Descrever os métodos aplicáveis à resolução de cada equação diferencial;
- Traduzir matematicamente um processo cinético de 1ª
ordem.
Aplicação (Application):
- Interpretar em termos físicos a solução de uma equação diferencial;
- Usar manipuladores algébricos na implementação e resolução de equações diferenciais;
- Operar com entidades abstractas complexas como as transformações integrais.

Os objectivos da 2ª parte da disciplina são:
Conhecimento (Knowledge):
- Aprender o conceito de função objectivo, ligações e constrições;
- Definir praticável.
Compreensão (Comprehension):
- Identificar problemas de optimização linear;
- Identificar o problema primal e;
- Escrever o problema dual;
- Discutir a solução de um problema de programação linear;
- Formular matematicamente problemas simples (2 e 3 variáveis) de programação linear.
Aplicação (Application):
- Aplicar o algoritmo de Simplex na resolução de problemas de optimização linear;
- Usar a folha de cálculo na obtenção da solução do problema.
Análise (Analysis):
- Interpretar e criticar as soluções obtidas para cada problema de optimização linear;
- Testar o comportamento das soluções fazendo variar as folgas;
- Analisar o modo como a solução óptima varia em consequência de variações nos dados do problema.

Resultados de aprendizagem e competências

1ª parte:

Dominar o conceito de sistema dinâmico; classificar os sistemas dinâmicos a partir da equação diferencial e das condições iniciais; operar com transformações integrais; fazer a destrinça entre sistemas lineares de não lineares, contínuos de discretos; traduzir matematicamente um processo cinético de 1ª ordem; interpretar em termos físicos a solução de uma equação diferencial; usar manipuladores algébricos na implementação e resolução de equações diferenciais;

2ª Parte

Dominar o conceito de função objectivo, ligações e constrições; definir praticável; identificar problemas de optimização linear; identificar o problema primal e escrever o correspondente problema dual; interpretar e discutir a solução de um problema de programação linear; formular matematicamente problemas simples (2 e 3 variáveis) de programação linear; aplicar o algoritmo de Simplex na resolução de problemas de optimização linear; usar a folha de cálculo na obtenção da solução do problema.

Modo de trabalho

Presencial

Programa

1ª Parte - Sistemas Dinâmicos

1- Introdução - Equações diferenciais de 1ª ordem;
2- Sistemas dinâmicos de 1ª ordem:
2.1- Processos cinéticos - decaimento radioactivo;
2.2- Reacções químicas - cinéticas de 1ª ordem;
2.3- Crescimento populacional - a lei logística;
3- Sistemas contínuos de ordem superior à 1ª:
3.1- Equação diferencial linear de ordem n com coeficientes constantes;
3.2- Exemplo de um sistema linear invariante de 2ª ordem - oscilações livres;
4- Interpretação física das equações diferenciais:
4.1- Sistemas invariantes de 1ª ordem - campo de velocidades, pontos críticos e estabilidade;
4.2- Sistemas lineares de 2ª ordem - trajectória no espaço de fase, vectores e valores próprios, análise dos pontos críticos, estabilidade;
5- Convolução e impulso de Dirac;
6- Transformada de Laplace:
6.1- Transformações integrais, origem e imagem;
6.2- Propriedades da transformada de Laplace;
6.3- Inversão da transformada de Laplace - decomposição em fracções simples;
6.4- Aplicação da transformada de Laplace à resolução de equações diferenciais;
7- Sistemas discretos:
7.1- Equações às diferenças lineares de 1ª e de 2ª ordem;
7.2- Exemplos de sistemas discretos lineares de 1ª ordem - modelo teia de aranha e processos de Marcov.

2ª Parte - Optimização linear

1- Introdução, conceitos base;
2- Programação linear:
2.1- Significado do modelo linear;
2.2- Formulação de problemas;
2.2- O algoritmo do Simplex;
2.3- O problema dual;
2.4- Análise de sensibilidade.

Bibliografia Obrigatória

António Fiúza; Dinâmica de Sistemas, 2000
Jaime Villate; Introdução aos Sistemas Dinâmicos - Uma abordagem prática com Maxima, 2007. ISBN: 972-99396-0-8 (http://def.fe.up.pt/pt/Sistemas)

Bibliografia Complementar

Shepley L. Ross; Introduction to ordinary differential equations. ISBN: 0-471-09881-7
Frederick S. Hillier, Gerald J. Lieberman; Introduction to operations research. ISBN: 0-0-07-100492-0

Observações Bibliográficas

http://def.fe.up.pt/pt/Sistemas

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

As aulas teóricas distribuir-se-ão semanalmente da seguinte forma: duas horas para exposição oral dos conteúdos aos alunos; uma hora em sala de computadores onde se dará a exemplificação através da implementação dos problemas em computafor (maxima e folha de cálculo).
As aulas práticas ficam reservadas à resolução de exercícios, cujos enunciados serão disponibilizados previamente no moodle. Nestas aulas, em regra, o docente resolve o primeiro exercício no quadro. Os restantes exercícios serão os próprios alunos a resolver, guiados pelo aluno que resolverá voluntariamente no quadro.

Software

Excel (solver)
WxMaxima

Palavras Chave

Ciências Tecnológicas > Engenharia > Engenharia de sistemas > Teoria de sistemas

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Participação presencial	10,00
Teste	90,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	108,00
Frequência das aulas	54,00
Total:	162,00

Obtenção de frequência

Para obtenção de frequência, o aluno não poderá exceder o número limite de faltas - 25% do número de aulas (P + TP) dadas.

Fórmula de cálculo da classificação final

A nota da primeira chamada será a média das componentes de avaliação distribuida.
N1=0,45*T1+0,45*T2+0,1*P
Sendo T1 e T2 testes OBRIGATÓRIOS; P representa a participação nas aulas e trabalhos para casa.
Os alunos cuja nota da 1ª chamada (N1) seja inferior a 10, submeter-se-ão a exame de recurso.

Provas e trabalhos especiais

Não previstos.

Trabalho de estágio/projeto

Não se aplica.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

A avaliação em época especial consiste numa prova escrita sobre toda a matéria leccionada.

Melhoria de classificação

A melhoria de classificação consiste numa prova escrita sobre toda a matéria leccionada, a realizar na data do exame de recurso.