Sistemas Dinâmicos e Optimização

Código:

EMG0017

Sigla:

SDO

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2009/2010 - 2S

Ativa?	Sim
Página Web:	http://moodle.fe.up.pt/0910/course/view.php?id=869
Página e-learning:	http://moodle.fe.up.pt/
Unidade Responsável:	Departamento de Engenharia de Minas
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Engenharia de Minas e Geo-Ambiente

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
LCEEMG	12	Plano de estudos oficial a partir de 2008/09	2	-	6	56	162

Língua de trabalho

Português

Objetivos

O lugar da disciplina no plano de estudos dita o seu papel de ligação entre as análises matemáticas e as disciplinas específicas do curso que têm subjacente um forte suporte matemático.
A disciplina está dividida em duas partes, a saber:
1ª parte - Sistemas Dinâmicos;
2ª parte - Optimização Linear.
Os objectivos da 1ª parte da disciplina são: Conhecimento (Knowledge):
- Relembrar os conceitos de função, variável independente, variável dependente;
- Aprender o conceito de sistema dinâmico;
- Classificar os sistemas dinâmicos a partir da equação diferencial e das condições iniciais;
- Operar com transformações integrais.
Compreensão (Comprehension):
- Rever o significado de equação diferencial ordinária;
- Identificar ordem de um sistema dinâmico;
- Fazer a destrinça entre sistemas lineares de não lineares, contínuos de discretos;
- Descrever os métodos aplicáveis à resolução de cada equação diferencial;
- Traduzir matematicamente um processo cinético de 1ª
ordem.
Aplicação (Application):
- Interpretar em termos físicos a solução de uma equação diferencial;
- Usar manipuladores algébricos na implementação e resolução de equações diferenciais;
- Operar com entidades abstractas complexas como as transformações integrais.

Os objectivos da 2ª parte da disciplina são:
Conhecimento (Knowledge):
- Aprender o conceito de função objectivo, ligações e constrições;
- Definir praticável.
Compreensão (Comprehension):
- Identificar problemas de optimização linear;
- Identificar o problema primal e;
- Escrever o problema dual;
- Discutir a solução de um problema de programação linear;
- Formular matematicamente problemas simples (2 e 3 variáveis) de programação linear.
Aplicação (Application):
- Aplicar o algoritmo de Simplex na resolução de problemas de optimização linear;
- Usar a folha de cálculo na obtenção da solução do problema.
Análise (Analysis):
- Interpretar e criticar as soluções obtidas para cada problema de optimização linear;
- Testar o comportamento das soluções fazendo variar as folgas;
- Analisar o modo como a solução óptima varia em consequência de variações nos dados do problema.

Programa

1ª Parte - Sistemas Dinâmicos

1- Introdução - Equações diferenciais de 1ª ordem;
2- Sistemas dinâmicos de 1ª ordem:
2.1- Processos cinéticos - decaimento radioactivo;
2.2- Reacções químicas - cinéticas de 1ª ordem;
2.3- Crescimento populacional - a lei logística;
3- Sistemas contínuos de ordem superior à 1ª:
3.1- Equação diferencial linear de ordem n com coeficientes constantes;
3.2- Exemplo de um sistema linear invariante de 2ª ordem - oscilações livres;
4- Interpretação física das equações diferenciais:
4.1- Sistemas invariantes de 1ª ordem - campo de velocidades, pontos críticos e estabilidade;
4.2- Sistemas lineares de 2ª ordem - trajectória no espaço de fase, vectores e valores próprios, análise dos pontos críticos, estabilidade;
5- Convolução e impulso de Dirac;
6- Transformada de Laplace:
6.1- Transformações integrais, origem e imagem;
6.2- Propriedades da transformada de Laplace;
6.3- Inversão da transformada de Laplace - decomposição em fracções simples;
6.4- Aplicação da transformada de Laplace à resolução de equações diferenciais;
7- Sistemas discretos:
7.1- Equações às diferenças lineares de 1ª e de 2ª ordem;
7.2- Exemplos de sistemas discretos lineares de 1ª ordem - modelo teia de aranha e processos de Marcov.

2ª Parte - Optimização linear

1- Introdução, conceitos base;
2- Programação linear:
2.1- Significado do modelo linear;
2.2- Formulação de problemas;
2.2- O algoritmo do Simplex;
2.3- O problema dual;
2.4- Análise de sensibilidade.

Bibliografia Obrigatória

M. Cristina Vila; Sistemas Dinâmicos e Optimização - Texto de apoio, 2009

Bibliografia Complementar

Ross, Shepley L.; Differential Equations. ISBN: 0-471-81450-4
Hillier, Frederick S.; Introduction to operations research. ISBN: 0-07-113989-3

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

As aulas teóricas distribuir-se-ão semanalmente da seguinte forma: duas horas para exposição oral dos conteúdos aos alunos; uma hora em sala de computadores onde se dará a exemplificação através da implementação dos problemas em computafor (maxima e folha de cálculo).
As aulas práticas ficam reservadas à resolução de exercícios, cujos enunciados serão disponibilizados previamente no moodle. Nestas aulas, em regra, o docente resolve o primeiro exercício no quadro. Os restantes exercícios serão os próprios alunos a resolver, guiados pelo aluno que resolverá voluntariamente no quadro.
No final de cada aula prática será proposto um problema para o aluno resolver em casa e entregar (via moodle) ao fim de 2 dias - estes trabalhos terão um peso de 20% na nota da 1ª chamada.

Software

Maxima
Excel

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Matemática aplicada > Matemática para a engenharia

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Descrição	Tipo	Tempo (Horas)	Peso (%)	Data Conclusão
Participação presencial (estimativa)	Participação presencial	55,00
1º Teste de avaliação	Exame	2,00		2010-03-26
2º Teste de avaliação	Exame	2,00		2010-06-04
Trabalho de casa	Teste	18,00
	Total:	-	0,00

Componentes de Ocupação

Descrição	Tipo	Tempo (Horas)	Data Conclusão
Estudo	Estudo autónomo	85
	Total:	85,00

Obtenção de frequência

Para obtenção de frequência, o aluno não poderá exceder o número limite de faltas - 25% do número de aulas (P + TP) dadas.

Fórmula de cálculo da classificação final

A nota da primeira chamada será a média das componentes de avaliação distribuida.
N1=0,4*T1+0,4*T2+0.2*TP.
Sendo T1 e T2 testes OBRIGATÓRIOS e TP o conjunto de todos os trabalhos de casa.
Os alunos cuja nota da 1ª chamada (N1) seja inferior a 10, submeter-se-ão a exame de recurso.

Provas e trabalhos especiais

Não estão previstos.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

A avaliação em época especial consiste numa prova escrita sobre toda a matéria leccionada.

Melhoria de classificação

A melhoria de classificação é feita em exame de recurso.

Observações

Disciplina complementada com módulo de e-learning.