Análise Matemática 2

Código:

EC0006

Sigla:

AMAT2

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2006/2007 - 2S

Ativa?	Sim
Página Web:	http://www.fe.up.pt/~mmendes/AM2.htm
Unidade Responsável:	Secção de Matemática
Curso/CE Responsável:	Mestrado Integrado em Engenharia Civil

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
LEC	5	Plano de estudos de transição para 2006/07	1	7	7	75	187
MIEC	404	Plano de estudos oficial a partir de 2006/07	1	-	7	75	187
		Plano de estudos de transição para 2006/07	1	-	7	75	187

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Introduzir os conceitos fundamentais para o estudo do comportamento de funções de várias variáveis. Desenvolver a capacidade de análise, de cálculo e de precisão matemática. Garantir uma base de formação para outras disciplinas do curso (e.g. Mecânica 2, Hidráulicas, etc...) apelando à ligação da matemática com problemas práticos de Engenharia. O aluno será estimulado a entender e a deduzir os conhecimentos matemáticos por via de exemplos práticos e concretos. O último capítulo introduz conhecimentos avançados com especial ligação à Hidráulica e Mecânica. O aluno será estimulado a desenvolver a comunicação escrita matemática pela entrega de exercícios resolvidos pelo aluno ao longo do semestre que contarão para a nota final.

Programa

Capítulo 1 – BREVES NOÇÕES DE TOPOLOGIA EM IRn .
Revisões de espaços com produto interno, norma e distância; produto vectorial em R^3; abertos e fechados em R^n; compacidade e conectividade.

Capítulo 2 – FUNÇÕES ESCALARES
Geometria associada a funções escalares: : esboço de curvas de nível de uma função f:R^2 -> R; esboço de superfícies de nível de uma função f:R^3 -> R; gráfico de uma função escalar.
Continuidade: noção de limite e continuidade; teoremas sobre continuidade.
Diferenciabilidade: derivada parcial e derivada direcional; diferenciabilidade; vector gradiente e suas propriedades (plano tangente ao gráfico); fórmula de Taylor e extremos locais de funções escalares (matriz Hessiana); derivação implícita.

Capítulo 3 - FUNÇÕES VECTORIAIS
Definição de funções vectoriais e casos particulares: parametrizações de curvas e superfícies; campos vectoriais.
Continuidade: noção de limite e continuidade; teoremas sobre continuidade.
Diferenciabilidade: matriz derivada; regra da cadeia; fórmula de Taylor; teorema da função implícita (sistema de equações).

Capítulo 4 – INTEGRAÇÃO
Descrição cartesiana de regiões com interior não vazio em R^2 e R^3.
Definição de integral (segundo Riemann); teorema de Fubini.
Integrais duplos: áreas de regiões com interior não vazio em R^2.
Integrais triplos: volumes de regiões com interior não vazio em R^3.
Teorema da mudança de variável: coordenadas polares e coordenadas cilíndricas e esféricas.

Capítulo 5 - GEOMETRIA DIFERENCIAL
Curvas: parametrizações; vector velocidade e vector tangente; pontos angulosos e parametrizações regulares; reparametrização pelo comprimento de arco; aceleração e vector normal; integração de funções escalares; curvatura; torsão e vector binormal.
Superfícies: superfícies sem bordo e parametrizações; superfícies com bordo; plano tangente e vector normal; pontos angulosos e parametrizações regulares; superfícies orientáveis; integração de funções escalares.

Capítulo 6 – CAMPOS VECTORIAIS
Introdução aos campos vectoriais. Exemplos especiais: campos de velocidades e campos de forças (segunda lei de Newton).
Integração de campos vectoriais: integração ao longo de curvas e interpretação física (circulação de um fluído e trabalho de um campo de forças e energia cinética); integração em superfícies e interpretação física: (quantidade de fluxo que atravessa uma superfície).
Rotacional de um campo de vectores: definição de rotacional; o rotacional no plano e o teorema de Green (aplicações do teorema de Green); teorema de Stokes (aplicações do teorema de Stokes). Interpretação física: fluídos irrotacionais e campos conservativos.
Divergência de um campo de vectores: definição de divergência; teorema de Gauss (aplicações do teorema de Gauss). Interpretação física: fluídos incompressíveis.
Geometria associada a campos de vectores: esboço da família de curvas associadas a um campo de velocidades planar que possua primeiro integral e campos de velocidades gradientes.
campos de forças conservativos: energia potencial, energia total e conservação da energia; esboço das linhas de campo e espaço de fase; exemplos: campo gravítico e electromagnético.

Bibliografia Obrigatória

Miguel Mendes; Curvas, Superfícies e Campos de Vectores
Maria do Carmo; Lições de Análise Matemática 2

Bibliografia Complementar

Azenha, Acilina; Elementos de cálculo diferencial e integral em IR e IRn. ISBN: 972-8298-03-X
Robert C. Wrede; Schaum's outline of Advanced Calculus (e-book)
Lima, Elon Lages; Curso de análise. ISBN: 85-244-0047-1
Marsden, Jerrold E.; Vector calculus. ISBN: 0-7167-0462-5

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Disciplina essencialmente formativa, coordenando os conhecimentos teóricos fundamentais com desenvolvimentos necessários nas cadeiras que se seguem no plano de estudos. A este nível é importante o entendimento intuitivo dos conceitos assim como as competências computacionais. Os conceitos são expostos de modo claro e objectivo, fazendo uso frequente de exemplos de natureza física e geométrica. É incentivado o uso de software, Maple, como instrumento de trabalho, na resolução de exercícios.

Tipo de avaliação

Avaliação por exame final

Obtenção de frequência

O limite de faltas permitido é fixado pelo Artigo 4ª-nº 1 (25% do nº de aulas práticas previstas)
das Normas Gerais de Avaliação da FEUP.

Fórmula de cálculo da classificação final

Os alunos terão a oportunidade de resolver 4 exercícios nas aulas práticas - em data a divulgar - para posterior correcção, classificados num total de 5 valores.
O exame terá uma parte de escolha múltipla que valerá 5 valores também.
A classificação final é obtida através da melhor parte entre os exercícios feitos nas aulas práticas e a escolha múltipla do exame (1ª parte) mais os restantes 15 valores do exame (2ªparte), i.e., NOTA FINAL= A+B em que:
A= max{ exer., esc. mult.} (5 valores)
B= 2ª parte do exame (15 valores)

Melhoria de classificação

Nos termos do Artigo 10º das Normas Gerais de Avaliação

Observações

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Tempo de trabalho estimado fora das aulas: 6 horas