Análise Matemática 2

Código:

EEC0007

Sigla:

AMAT2

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2007/2008 - 2S

Ativa?	Sim
Página Web:	http://paginas.fe.up.pt/am2
Unidade Responsável:	Ciências Fundamentais e da Electrotecnia
Curso/CE Responsável:	Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
LEEC	0	Plano de estudos de transição para 2006/07	1	8	8	99	213
MIEEC	587	Plano de estudos oficial a partir de 2006/07	1	-	8	99	213
		Plano de estudos oficial a partir de 2007/08	1	-	8	99	213
		Plano para alunos que em 2006 estiveram no 3º ano	1	-	8	99	213
		Plano para alunos que em 2006 estiveram no 5º ano	1	-	8	99	213
		Plano para alunos que em 2006 estiveram no 4º ano	1	-	8	99	213

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Perante um problema dado identificar técnicas de cálculo diferencial e integral em R^n que poderão ser utilizadas para a sua resolução. Aplicar correctamente essas técnicas.

Programa

1. Curvas
Curvas parametrizadas. Definição.
Funções vectoriais de variável real: limites, continuidade e derivação.
Tangente unitária, normal principal e plano osculador de uma curva em R^n
Inversão do sentido de percurso. Reparametrização.
Aceleração centrípeta e aceleração tangencial.

2. Gráficos de equações com 3 variáveis
Esfera, elipsóide, parabolóides, hiperbolóides, cones, cilindros.

3. Funções reais de variável vectorial (FRVV)
Norma, distância, conjuntos abertos e fechados em R^n.
Domínio, gráfico, e conjunto de nível de uma função real de variável vectorial.
Limites e continuidade. Regras de cálculo.
Derivadas parciais. Derivadas direccionais. Derivada da função como uma aplicação linear.
Relação entre derivabilidade e continuidade.
Vector gradiente. Interpretação geométrica.
Recta normal e plano tangente num ponto de uma superfície em R^3
Derivadas de ordem superior.

4. Funções vectoriais de variável vectorial (FVVV)
Limites e continuidade.
Composição de funções.
Derivabilidade em relação a um vector. Derivada da função num ponto. Matriz Jacobiana.
Derivada da função composta.
Teorema da função inversa.
Função implícita. Derivação Implícita.

5. Máximos e mínimos de funções definidas em R^n
Pontos críticos. Classificação dos pontos críticos a partir da matriz Hessiana.

6. Máximos e mínimos condicionados. Multiplicadores de Lagrange

7. Integrais múltiplos
Integrais duplos e triplos.
Mudança de variável em integrais múltiplos. Coordenadas polares, cilíndricas e esféricas.
Aplicações ao cálculo de áreas e volumes.

8. Integrais de linha, superfície e volume.

9. Sistemas de equações diferenciais lineares.

Bibliografia Obrigatória

M. do Rosário de Pinho e M. Margarida A. Ferreira; Apontamentos das aulas teóricas de AM2, 2007
Larson, Roland E.; Cálculo com geometria analítica. ISBN: 85-216-1108-0
S.K. Steib and A. Barcellos; Calculus and Analytic Geometry , McGraw Hill
Simmons; Calculus with Analytic Geometry, McGraw Hill.
Boyce, William E.; Elementary differential equations and boundary value problems. ISBN: 0-471-31999-6

Bibliografia Complementar

Apostol, Tom M.; Calculus. ISBN: 84-291-5001-3
Ana Breda e Joana N. Costa; Cálculo com funções de várias variáveis , McGraw Hill
Paula Rocha; Cálculo II, Univ. Aveiro

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Aulas teóricas: Motivação e apresentação de problemas. Discussão e dedução de resultados no âmbito do programa da disciplina.
Os alunos devem preparar a aula teórica da seguinte forma:
1) estudar nos apontamentos a matéria a ser coberta nessa aula;
2) tentar resolver exercícios básicos sobre a mesma matéria;
3) anotar lista de questões surgidas sobre essa matéria.

Aulas teórico-práticas: Todas as semanas lectivas exercícios previamente indicados pelos docentes da disciplina devem ser preparados pelos alunos antes da respectiva aula teórico-prática. Na aula teórico-prática será efectuada a discussão desses exercícios com esclarecimento de dúvidas surgidas.
Estas aulas terão também uma componente de avaliação distribuída, contribuindo para essa avaliação:
- Realização de diversos micro-testes a decorrerem num período de 20m da aula.
- Resolução no quadro pelos alunos de exercícios da lista previamente indicada para essa aula.
Esta componente de avaliação terá um peso de 2 valores em 20.

Sessões para esclarecimento de dúvidas: Uma sessão semanal de dúvidas, 4 feiras, das 14h30 às 17h, terá lugar durante todo o semestre. Nesta sessão estarão presentes docentes e um monitor da disciplina. Indicação da sala onde tais sessões irão decorrer poderá ser encontrada na página da disciplina. Para além desta sessão de dúvidas os alunos deverão contactar os respectivos docentes para
marcação de outros horários de dúvidas.

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Matemática aplicada > Matemática para a engenharia
Ciências Físicas > Matemática > Análise matemática

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Descrição	Tipo	Tempo (Horas)	Peso (%)	Data Conclusão
Aulas da disciplina (estimativa)	Participação presencial	77,00
Preparação de resolução de exercícios propostos	Trabalho escrito	28,00		2008-05-30
Miniteste 2	Exame	1,00		2008-05-14
Exame final	Exame	2,00		2008-07-19
Miniteste 1	Exame	1,00		2008-04-02
Exame de Recurso	Exame	2,00		2008-07-19
	Total:	-	0,00

Componentes de Ocupação

Descrição	Tipo	Tempo (Horas)	Data Conclusão
Estudo Individual	Estudo autónomo	105	2008-07-19
	Total:	105,00

Obtenção de frequência

Para ter frequência à disciplina e poder ser admitido a exame final (1ª Chamada e/ou Recurso) o aluno não poderá exceder o número limite de faltas às aulas teórico-práticas (25% do número de aulas previstas) e terá de obter classificação de frequência não inferior a 5 (numa escala de 0 a 20).

Nota de Frequência:
Existem três pontos de avaliação, a saber:
a) Classificação da participação nas aulas TP: realização de microtestes e resolução de exercícios no quadro.
b) Classificação do 1º Mini-teste com duração de 1h, a realizar dia 2 de Abril em salas e hora a determinar.
c) Classificação do 2º Mini-teste com duração de 1h, a realizar dia 14 de Maio em salas e hora a determinar.
A nota de frequência (NF) é dada segundo a fórmula:

2/8*NTP+ 3/8 *NMT1+ 3/8 *NMT2
onde
NTP: classificação da participação nas aulas TP (numa escala de 0 a 20)
NMT1: classificação do 1º Mini-teste (numa escala de 0 a 20)
NMT2: classificação do 2º Mini-teste (numa escala de 0 a 20)

Fórmula de cálculo da classificação final

Alunos a frequentar a disciplina (inscritos nas turmas TP):

Os alunos nesta situação estarão sujeitos a todos os pontos de avaliação descritos atrás.
A classificação final da disciplina é calculada segundo a fórmula:

0,4*NF + 0,6*NEF
onde
NF : nota de frequência (numa escala de 0 a 20);
NEF: classificação do exame final (numa escala de 0 a 20).


Alunos não inscritos nas turmas TP e com frequência a AM2 em 2006/2007:

Os alunos que no ano lectivo de 2006/2007 tiveram frequência a AM2 estão dispensados de assistir às aulas de AM2 no ano de 2007/2008.
Contudo, ao inscreverem-se numa turma teórico-prática no presente ano lectivo, ficarão sujeitos às regras de avaliação correspondentes a um aluno que frequenta pela primeira vez a disciplina e a nota de frequência anterior será ignorada.

Os alunos com frequência de AM2 em 2006/2007 e que não estão inscritos em qualquer turma teórico-prática no presente ano lectivo realizarão apenas o exame final da disciplina.

A classificação final da disciplina é calculada segundo a fórmula:

0,4*NFAA + 0,6*NEF
onde:
NFAA: nota de frequência do ano lectivo anterior (numa escala de 0 a 20)
NEF: classificação do exame final no presente ano lectivo (numa escala de 0 a 20)


NOTA: Chama-se a atenção para o facto de um aluno com frequência de AM2 em 2006/2007 e que não esteja inscrito em qualquer turma teórico-prática no presente ano lectivo não obterá frequência no presente ano lectivo. Tal implicará, caso não obtenha aprovação este ano, que obrigatoriamente terá de frequentar a disciplina posteriormente.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Os alunos que durante o ano lectivo de 2007/2008 têm estatuto de alunos militares ou alunos com estatuto de trabalhador estudante estão dispensados de frequência e da componente de avaliação das aulas teórico-práticas. A classificação da disciplina será obtida com base no exame final com cotação de 20 valores.

Os alunos com estatuto especial que podem e pretendem fazer a disciplina usando um dos outros modelos, por exemplo efectuar todos os pontos de avaliação ou usar frequência do ano anterior, deverão comunicar essa decisão aos docentes nas DUAS PRIMEIRAS SEMANAS DE AULAS e ficarão sujeitos às mesmas regras dos restantes alunos.

Melhoria de classificação

A melhoria da classificação é feita por exame escrito final, sendo a classificação igual a 100% a classificação desse exame.

Observações

NOTA: Mini-testes e exame final serão realizados sem consulta e sem recurso a máquina de calcular. Será distribuído nestas provas um formulário previamente conhecido.