Matemática Discreta
Áreas Científicas |
Classificação |
Área Científica |
OFICIAL |
Matemática |
Ocorrência: 2008/2009 - 2S
Ciclos de Estudo/Cursos
Língua de trabalho
Português
Objetivos
O principal objectivo desta unidade curricular é a aprendizagem de novas ferramentas e técnicas para analisar e resolver problemas em diversas áreas.
Os estudantes devem ficar capazes de analisar problemas usando as metodologias da matemática, pensamento abstracto, inferência lógica a partir de premissas, e soluções rigorosas e concisas.
Programa
LÓGICA e DEMONSTRAÇÃO. Proposições e seus valores. Operações lógicas: conjunção, disjunção inclusiva e exclusiva, negação, suas tabelas de verdade. Tautologias e contradições. Proposições condicionais e equivalências suas tabelas de verdade. Álgebra das proposições. Fórmulas de De Morgan. Dualidade. Tipos de proposições condicionais. Argumentos. Resolução. Lógica dos predicados. Quantificadores. A natureza da prova. Utilização das proposições condicionais. Prova por contradição. Indução matemática,suas aplicações.
TEORIA dos CONJUNTOS. Definições, notações. Operações, suas propriedades. Diagramas de Venn. Cardinalidade e primeiros princípios de contagem. Dualidade. Família de conjuntos. Conjunto potência. Partição de um conjunto. Tipos ou categorias, conjuntos tipificados, operações. Pré-condições e pós-condições.
RELAÇÕES. Definição e sua representação. Representação matricial. Relacções e tipos, operações e suas propriedades. Relações de equivalência e partições. Utilização da aritmética modular, congruências, como exemplo. Relações de ordem. Representação por digrafos. Elementos maximais e minimais. Máximo e mínimo. Diagrama de Hasse. Aplicação ás bases de dados relacionais.
FUNÇÕES e OPERADORES. Definições e notações. Domínio, codominio e contradomínio. Composição. Injectividade, sobrejectividade, bijectividade e invertibilidade. Cardinalidade do conjunto de funções relacionada com a cardinalidade do domínio e codomínio. Utilização das bases de dados como aplicação da noção de dependência funcional. Formas normais.
ESTRUTURAS ALGÉBRICAS. Operações binárias e suas propriedades. Semi-grupos, monóides e grupos. Grupos cíclicos. Grupos diedrais e grupos de permutações. Sub-estruturas. Morfismos e isomorfismos. Grupos de código. Aplicações. Álgebra de Boole. Operações, propriedades. Funções booleanas. Mintermos e maxtermos. Aplicações. Simplificações de funções booleanas. Códigos de Gray e quadros de Karnaugh.
MÉTODOS de CONTAGEM. Princípios da adição e da multiplicação. Permutações e combinações, sua geração. Permutações e combinações generalizadas, sua geração. Princípio do pigeonhole ou das gavetas de Dirichlet. Princípio da inclusão-exclusão, sua fórmula geral. Desarranjos, sua definição e contagem. Funções geradoras e sua aplicação ás contagens. Relações de recorrência e sua aplicação ás contagens. Exemplos de aplicação.
TEORIA dos GRAFOS. Definição de grafo. Terminologia e exemplos. Digrafos. Grafos bipartidos.Casos particulares. Caminhos, circuitos e ciclos. Conectividade. Representação matricial dos grafos e suas propriedades.Isomorfismo entre grafos. Grafos Eulerianos. Grafos Hamiltonianos. Grafos planos. Teorema de Kuratowski. Fórmula de Euler para grafos planos. Grafos pesados.
ÁRVORES. Definições e notações.Terminologia e caracterização de árvores. Árvores geradas por grafos. Árvores binárias e tipos de atravessamento. Isomorfismo de árvores.
Bibliografia Obrigatória
Rosen, Kenneth H.;
Discrete mathematics and its applications. ISBN: 0-07-289905-0
Garnier, Rowan;
Discrete mathematics for new technology. ISBN: 0-7503-0652-1
Métodos de ensino e atividades de aprendizagem
Nas aulas teóricas aprende-se e discute-se a matéria da disciplina, e os exemplos de aplicação. Nas aulas práticas faz-se a análise e resolução de problemas, aplicando as ferramentas e os conhecimentos adquiridos nas aulas teóricas.
Tipo de avaliação
Avaliação distribuída com exame final
Componentes de Avaliação
Descrição |
Tipo |
Tempo (Horas) |
Peso (%) |
Data Conclusão |
Participação presencial (estimativa) |
Participação presencial |
65,00 |
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Exame final |
Exame |
2,00 |
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Trabalho de avaliação individual |
Exame |
5,00 |
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Estudo |
Exame |
63,00 |
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Total: |
- |
0,00 |
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Obtenção de frequência
Haverá três mini-testes (a realizar nas aulas Teórico-Práticas) com a duração de 30 minutos e um trabalho individual, representando cada um dos elementos 4,5 valores da avaliação distribuída. A participação nas aulas é um dos elementos de avaliação representando 2 valores da avaliação distribuída.
Para obter frequência, o aluno deve ter pelo menos 6 valores na avaliação distribuída e não exceder o limite legal de faltas.
Fórmula de cálculo da classificação final
O exame final é uma prova escrita sem consulta, com a duração de 2 horas, constituída por uma parte prática, contendo 6 problemas, e uma parte teórica, contendo 3 perguntas, valendo respectivamente 75% e 25% da classificação (E).
A classificação da avaliação distribuída(D) contribui com D/4 valores para a classificação final, enquanto que a classificação do exame contribui com 20-D/4 valores. Assim, todos os alunos admitidos a exame final podem obter a classificação máxima.
A nota da classificação final (F) é calculada somando as duas componentes
F = D/4 + (20-D/4)/20*E
Avaliação especial (TE, DA, ...)
Nestes casos não será tomada em consideração a classificação da avaliação contínua.
Melhoria de classificação
Na melhoria de classificação, não será tomada em consideração a classificação da avaliação contínua.