Análise Matemática 2

Código:

EC0006

Sigla:

AMAT2

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2017/2018 - 2S

Ativa?	Sim
Página Web:	http://moodle.fe.up.pt
Unidade Responsável:	Secção de Matemática
Curso/CE Responsável:	Mestrado Integrado em Engenharia Civil

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
MIEC	220	Plano de estudos oficial a partir de 2006/07	1	-	7	75	187

Língua de trabalho

Português

Objetivos

JUSTIFICAÇÃO:
Unidade Curricular essencialmente formativa, coordenando os conhecimentos teóricos fundamentais ao estudo de funções de várias variáveis com desenvolvimentos necessários nas cadeiras que se seguem no plano de estudos.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
Adquirir conhecimentos teóricos e práticos, essenciais, sobre o cálculo diferencial e integral de funções reais e vetoriais de uma ou várias variáveis, e sobre algumas das suas aplicações.

Resultados de aprendizagem e competências

COMPETÊNCIAS A DESENVOLVER DESCRITAS NO CDIO:
Conhecimentos técnicos em ciências fundamentais (cálculo diferencial e integral de funções reais e vetoriais de várias variáveis); saber aplicar os conhecimentos e a capacidade de compreensão e de resolução de problemas em situações novas, em contextos alargados e multidisciplinares, ter capacidade para integrar conhecimentos, lidar com questões complexas, desenvolver soluções ou emitir juízos em situações de informação limitada ou incompleta; desenvolver competências de aprendizagem que permitam uma aprendizagem ao longo da vida, de um modo fundamentalmente auto-orientado ou autónomo; Ser capaz de comunicar as suas conclusões e os seus conhecimentos e raciocínios a elas subjacentes, quer a especialistas, quer a não especialistas, de uma forma clara sem ambiguidades.

CONHECIMENTOS PRÉVIOS:
São considerados essenciais para a frequência desta unidade curricular os conhecimentos relativos ao cálculo diferencial e integral adquiridos na Unidade Curricular Análise Matemática 1 e os relativos a geometria analítica e cálculo matricial adquiridos na Unidade Curricular Álgebra, ambas lecionadas no 1º Ano, 1º Semestre do MIEC.


RESULTADOS ESPERADOS:
No fim do período letivo os estudantes devem ser capazes de:
1- Descrever a geometria das funções escalares.
2- Discutir a continuidade de funções escalares de várias variáveis.
3 - Obter derivadas parciais e direcionais para campos escalares e saber construir o vetor gradiente. Calcular a matriz jacobiana, a divergência e o rotacional de um campo vetorial.
4 - Calcular derivadas de funções compostas, de campos escalares e vetoriais, bem como de funções definidas implicitamente.
5 - Obter máximos e mínimos livres de funções de duas ou três variáveis, bem como máximos e mínimos condicionados dessas mesmas funções, com uma ou duas restrições.
6 - Calcular integrais duplos sobre regiões limitadas de R2, quer em coordenadas cartesianas quer em coordenadas polares e calcular áreas dessas regiões.
7 - Calcular integrais triplos sobre regiões limitadas de R3, obter o volume dessas regiões por integração e transformar integrais triplos em coordenadas cartesianas para integrais em coordenadas cilíndricas e esféricas.
8- Usar representações paramétricas de curvas em Rn, obter o seu vector tangente e normal; calcular integrais de linha ao longo dessas curvas.
9- Descrever parametrizações de superfícies, calcular integrais de superfície de funções escalares e de funções vetoriais.
10- Relacionar um integral duplo com um integral de linha, usando o teorema de Green.
11- Saber aplicar o teorema de Stokes e o teorema de Gauss.

Modo de trabalho

Presencial

Programa

Programa
1. Diferenciabilidade
1.1. A geometria das funções escalares de várias variáveis reais: gráfico de uma função; curvas e superfícies de nível; secções e gráficos.
1.2. Topologia em R^n: Conjunto aberto, disco, bola e vizinhança de um ponto. Ponto fronteiro. Limites e Continuidade: Limite de uma função num aberto. Teoremas sobre continuidade.
1.3. Diferenciabilidade: Derivadas parciais. Aproximação Linear e  plano tangente ao gráfico de uma função escalar num ponto. Derivada num ponto de uma função escalar. Matriz das derivadas parciais. Função vectorial. Derivada num ponto de uma função vectorial. Rotacional e Divergência de um campo de vectores e  respectiva interpretação física.
1.4. Propriedades da Derivada.
1.5. Gradiente e derivada direccional.

2. Derivadas de ordem Superior. Máximos e Mínimos de Funções Escalares.
2.1. Teorema de Taylor.
2.2. Extremos de uma função escalar: Pontos de Máximo e Mínimos locais. Pontos críticos. Ponto sela. Teste da primeira derivada. Matriz Hessiana. Extremos absolutos. Extremos absolutos num conjunto compacto (limitado e fechado).
2.3. Extremos condicionados.
2.4. Derivação implícita.

3. Integrais duplos e Triplos
3.1. Descrição cartesiana de regiões com interior não vazio em R^2 e R^3.
3.2. Definição de integral (segundo Riemann); teorema de Fubini.
3.3. Integral duplo  de uma função escalar numa região com interior não vazio em R^2.
3.4. Integral triplo de uma função escalar numa região com interior não vazio em R^3.
3.5. Teorema da mudança de variável: coordenadas polares e coordenadas cilíndricas e esféricas.
3.6 Aplicações: Centro de massa e momentos de inércia em torno dos eixos coordenados.

4. Curvas e Superfícies
4.1. Curvas no plano e no espaço: parametrizações de uma curva; vector velocidade e vector tangente: recta tangente a uma curva; pontos angulosos e parametrizações regulares;
4.2. Integração de funções escalares ao longo de uma curva; comprimento de uma curva.
4.3. Integração de campos vectoriais: integração ao longo de curvas e interpretação física: trabalho realizado por um campo de forças;
4.4. Superfícies:  superfícies sem bordo e parametrizações; superfícies com bordo; plano tangente e vector normal à superfície num ponto; parametrizações regulares; superfícies orientáveis;
4.5. Integração de funções escalares e vectoriais sobre superfícies. Área de uma superfície.
4.6. Interpretação física dos integrais de campos vectoriais sobre superfícies: (quantidade de fluxo que atravessa uma superfície)

5. Teoremas integrais da análise vectorial
5.1. O rotacional de um campo vectorial no plano e o teorema de Green (aplicações do teorema de Green).
5.2. Teorema de Stokes (aplicações do teorema de Stokes). Interpretação física: circulação de um fluido, fluidos irrotacionais e campos conservativos.
5.3. Teorema de Gauss (aplicações do teorema de Gauss). Interpretação física: fluidos incompressíveis.

Componente científica: 100%

DEMONSTRAÇÃO DA COERÊNCIA DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS COM OS OBJETIVOS DA UNIDADE CURRICULAR:

Esta é uma unidade curricular essencialmente formativa, que coordena os conhecimentos teóricos fundamentais ao estudo de funções de várias variáveis com desenvolvimentos necessários nas unidades curriculares que se seguem no plano de estudos. O conteúdo programático complementa a aprendizagem obtida na unidade curricular de Análise Matemática 1.

Bibliografia Obrigatória

Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba; Vector calculus. ISBN: 0-7167-1856-1
Miroslav Lovric; Vector Calculus, Addison Wesley, 1997. ISBN: 0-201-42797-4

Bibliografia Complementar

Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba; Study Guide for Vector Calculus. ISBN: 0-7167-1980-0
Tom M. Apostol; Cálculo. ISBN: 84-291-5016-1 (vol. 2)
Acilina Azenha, Maria Amélia Jerónimo; Elementos de cálculo diferencial e integral em IR e IRn. ISBN: 972-8298-03-X

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Aulas teóricas com exposição dos conceitos, princípios e teorias. Os conceitos são expostos de modo claro e objetivo, fazendo uso frequente de exemplos de natureza física e geométrica.

Aulas práticas demonstrativas com resolução de exercícios de aplicação que constam de fichas elaboradas para o efeito.

DEMONSTRAÇÃO DA COERÊNCIA DAS METODOLOGIAS DE ENSINO COM OS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM DA UNIDADE CURRICULAR:

Privilegia-se a coordenação entre os conhecimentos teóricos fundamentais com desenvolvimentos necessários nas unidades curriculares que se seguem no plano de estudos, sendo fomentado o entendimento intuitivo dos conceitos e a capacidade de cálculo. Pretende-se desenvolver os conhecimentos técnicos no cálculo diferencial e integral de funções reais e vetoriais de várias variáveis, saber aplicar os conhecimentos e a capacidade de compreensão e de resolução de problemas em situações novas, em contextos alargados e multidisciplinares, ter capacidade para integrar conhecimentos.

Software

maple

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Teste	100,00
Total:	100,00

Obtenção de frequência

A obtenção de classificação final exige o cumprimento de assiduidade à unidade curricular, conforme estabelecido nas regras de avaliação do MIEC. Considera‐se que um estudante cumpre a assiduidade a uma unidade curricular se, tendo estado regularmente inscrito, não exceder o número limite de faltas correspondente a 25% de cada um dos tipos de aulas previstos.

Fórmula de cálculo da classificação final

A avaliação consiste em 2 provas escritas (ver calendáro do 1º ano). Todos os momentos de avaliação são obrigatórios. A não comparência a um momento de avaliação implica a classificação de "0" na correspondente avaliação desse momento.

CF= classificação final
CT1= classificação no 1º teste
CT2= classificação no 2º teste

Resultado da classificação na época normal:
CF = 0,50*CT1+0,50*CT2

Os alunos admitidos a exame e reprovados na época normal têm acesso ao exame de recurso.

Observações

CONHECIMENTOS PRÉVIOS:
São considerados essenciais para a frequência desta unidade curricular os conhecimentos relativos ao cálculo diferencial e integral adquiridos na Unidade Curricular de Análise Matemática 1 e os relativos ao cálculo matricial adquiridos na Unidade Curricular Álgebra, ambas leccionadas no 1º Ano, 1º Semestre do MIEC.

Tempo de trabalho estimado fora das aulas: 3 horas