Análise Matemática 1

Código:

EC0001

Sigla:

AMAT1

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2014/2015 - 1S

Ativa?	Sim
Página Web:	https://moodle.up.pt/course/view.php?id=2642
Unidade Responsável:	Secção de Matemática
Curso/CE Responsável:	Mestrado Integrado em Engenharia Civil

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
MIEC	210	Plano de estudos oficial a partir de 2006/07	1	-	7	75	187

Língua de trabalho

Português

Objetivos

OBJETIVOS:
Compreensão, manipulação e aplicação dos conceitos de integração de funções reais de variável real e de série. Fornecer um conjunto base de conhecimentos matemáticos necessários ao bom funcionamento das outras unidades curriculares do curso. Desenvolver o raciocínio científico-matemático e a capacidade de abertura à aplicação dos conceitos matemáticos.

Resultados de aprendizagem e competências

COMPETÊNCIAS ESPERADAS:

No fim do período letivo os estudantes devem, em cada uma das vertentes seguintes, ser capazes de:

Conhecimento: Descrever os principais resultados na área de formação de base da análise matemática, nomeadamente no domínio do cálculo diferencial e integral, das séries numéricas e da aproximação polinomial de funções reais de variável real por recurso a Polinómios de Taylor. Identificar as técnicas a usar na resolução de problemas

Compreensão: Construir uma atitude e um pensamento adequados à resolução de problemas de Engenharia Aplicação: Desenvolver uma base sólida de formação para disciplinas posteriores, que permita a correta utilização das técnicas e a formulação rigorosa dos problemas

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Programa

1. Cálculo diferencial de funções reais de variável real:
1.1. Metodologia da matemática, fundamentos de lógica matemática, axiomática dos números reais, breves noções topológicas. Teorema de Bolzano-Weierstrass
1.2. Funções trigonométricas, trigonométricas inversas e hiperbólicas
1.3 Funções reais de variável real: limites e continuidade. Teoremas dos valores intermédios e de Weierstrass
1.4. Cálculo diferencial de funções de uma variável: definições e interpretação geométrica. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy. Derivada da função inversa e composta. Regras práticas e aplicações da derivação.

2. Cálculo integral de funções reais de variável real:
2.1. Integral de Riemann, operações com integrais, integrais indefinidos. Teorema fundamental do cálculo, fórmula de Barrow e teorema do valor médio
2.2. Integração de funções racionais. Integração por partes e integração por substituição
2.3. Integrais impróprios
2.4. Cálculo de áreas no plano.

3. Sucessões e séries numéricas:
3.1. Sucessão de Cauchy, análise de convergência e soma de uma série, convergência simples e convergência absoluta
3.2.Séries de termos positivos: critérios de comparação, d' Alembert, de Cauchy e do integral
3.3. Séries de termos alternados: critério de Leibniz

4. Sucessões e séries de funções:
4.1. Convergência pontual e convergência uniforme
4.2. Séries de potências: raio e intervalo de convergência
4.3. Aproximação polinomial: Polinómio e Série de Taylor.

DISTRIBUIÇÃO:
A distribuição estimada percentual do conteúdo programático está de acordo com a tabela seguinte:

Ponto do Programa % estimada
1 25
2 40
3 20
4 15

Conteúdo Científico – 100%

DEMONSTRAÇÃO DA COERÊNCIA DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS COM OS OBJETIVOS DA UNIDADE CURRICULAR:
Esta unidade curricular integra o grupo de unidades curriculares da área científica de Matemática, centrando-se sobretudo em fornecer aos estudantes uma formação sólida nos conceitos e no cálculo de integração de funções reais de variável real e de séries numéricas e de funções. O conteúdo programático inclui o cálculo diferencial, o cálculo integral, sucessões e séries numéricas e séries de funções. Estas matérias são a base do cálculo matemático, sendo apresentados nas aulas os conceitos e os resultados recorrendo a exemplos elucidativos com recurso eventual a software apropriado.

Bibliografia Obrigatória

Apostol, Tom M.; Calculus
Stewart, James; Cálculo, Thompson. ISBN: 85-221-0479-4 (5.ª edição (vol.1))
James Stewart; Cálculo. ISBN: 85-221-0236-8 (vol. 2)
Apontamentos e colectânea de exercícios de apoio às aulas; Disponível na plataforma Moodle da UC

Bibliografia Complementar

M. Spivac; Calculus, Volumes 1 e 2, Addison Wesley
Alves de Sá, Ana e Louro, Bento; Sucessões e Séries, Teoria e prática, Escolar Editora, 2009
Larson, Hostetler & Edwards; Cálculo, Volumes 1 e 2 (Oitava Edição), McGraw-Hill, 2006. ISBN: 85-86804-56-8

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Nas aulas (teórico-práticas) são apresentados os conceitos e resultados, recorrendo à interpretação geométrica (quando possível) e a exemplos elucidativos. Algumas demonstrações construtivas são apresentadas. Forte apelo ao entendimento dos conceitos e à capacidade de cálculo. Ao longo da unidade curricular os estudantes são alertados para as ferramentas computacionais disponíveis, suas capacidades e limitações. Nas aulas são realizadas algumas demonstrações de utilização de software adequado e o estudante é encaminhado na resolução de problemas selecionados.

DEMONSTRAÇÃO DA COERÊNCIA DAS METODOLOGIAS DE ENSINO COM OS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM DA UNIDADE CURRICULAR:
A apresentação dos conceitos e dos resultados recorrendo à interpretação geométrica e a exemplos elucidativos pretende desenvolver o raciocínio científico-matemático e a capacidade de abertura à aplicação dos conceitos matemáticos. Desta forma constrói-se uma atitude e um pensamento adequados à resolução de problemas de Engenharia e desenvolve-se uma base sólida de formação para unidades curriculares posteriores, que permita a correta utilização das técnicas e a formulação rigorosa dos problemas.

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Análise matemática

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Teste	100,00
Total:	100,00

Obtenção de frequência

A obtenção de classificação final exige o cumprimento de assiduidade à unidade curricular, conforme estabelecido nas regras de avaliação do MIEC. Considera‐se que um estudante cumpre a assiduidade a uma unidade curricular se, tendo estado regularmente inscrito, não exceder o número limite de faltas correspondente a 25% de cada um dos tipos de aulas previstos.

Fórmula de cálculo da classificação final

Componentes da avaliação:
Dois mini-testes MT1 e MT2
Um exercício prático, realizado nas aulas, antes do MT1 (EP1)
Um exercício prático , realizados nas aulas, antes do MT2 (EP2)

A classificação final (CF) é determinada de acordo com o seguinte:
EP1 - Classificação do EP1
MT1 -Classificação do 1.º mini-teste
M1 = 0.2 max {EP1, Grupo I de MT1} + 0.8 (Grupo II de MT1)

EP2 - Classificação do EP2
MT2 - Classificação do 2.º mini-teste
M2 = 0.2 max {EP2, Grupo I de MT2} + 0.8 (Grupo II de MT2)

CF = 0.5 M1 + 0.5 M2

Os estudantes que, sendo admitidos a exame, não obtenham aprovação após a avaliação descrita, têm acesso a um exame de recurso, podendo optar por ser avaliados apenas sobre a matéria correspondente a um dos mini-testes (provas de 1 h 30 min) ou sobre toda a matéria (prova de 3 horas). A classificação final é apurada com as expressões indicadas para M1, M2 e CF, substituindo M1, M2 ou CF de acordo com os resultados do exame.

Provas e trabalhos especiais

Trabalho de estágio/projeto

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Melhoria de classificação

Os estudantes que tenham sido aprovados à unidade curricular e pretendam melhorar a sua classificação, podem requerer acesso ao exame de recurso, optando pela avaliação sobre uma parte da matéria (M1 ou M2, mantendo a classificação da outra parte) ou sobre toda a matéria. Em qualquer caso, se as classificações de exame forem inferiores, subsistem as classificações da avaliação distribuída.

Observações

Tempo de trabalho semanal estimado fora das aulas: 5 horas.

Nas várias componentes de avaliação não é permitida a utilização de qualquer tipo de máquina de calcular. A fraude na realização de uma prova - em qualquer das modalidades - implica a anulação da mesma (Artigo 13.º das Normas Gerais de Avaliação).

CONHECIMENTOS PRÉVIOS: O estudante deverá ter conhecimentos básicos sobre funções reais a uma variável real, derivação, polinómios e lógica.