Análise Matemática 2

Código:

EC0006

Sigla:

AMAT2

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2010/2011 - 2S

Ativa?	Sim
Página Web:	http://moodle.fe.up.pt/1011/course/view.php?id=761
Unidade Responsável:	Secção de Matemática
Curso/CE Responsável:	Mestrado Integrado em Engenharia Civil

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
MIEC	306	Plano de estudos oficial a partir de 2006/07	1	-	7	75	187

Língua de trabalho

Português

Objetivos

JUSTIFICAÇÃO:
Unidade Curricular essencialmente formativa, coordenando os conhecimentos teóricos fundamentais ao estudo de funções de várias variáveis com desenvolvimentos necessários nas cadeiras que se seguem no plano de estudos.

OBJECTIVOS ESPECÍFICOS:
Adquirir conhecimentos teóricos e práticos, essenciais, sobre o cálculo diferencial e integral de funções reais e vectoriais de uma ou várias variáveis, e sobre algumas das suas aplicações.

COMPETÊNCIAS A DESENVOLVER DESCRITAS NO CDIO:
Conhecimentos técnicos em ciências fundamentais (cálculo diferencial e integral de funções reais e vectoriais de uma ou várias variáveis); saber aplicar os conhecimentos e a capacidade de compreensão e de resolução de problemas em situações novas e não familiares, em contextos alargados e multidisciplinares, ter capacidade para integrar conhecimentos, lidar com questões complexas, desenvolver soluções ou emitir juízos em situações de informação limitada ou incompleta; desenvolver competências de aprendizagem que permitam uma aprendizagem ao longo da vida, de um modo fundamentalmente auto-orientado ou autónomo; Ser capaz de comunicar as suas conclusões e os seus conhecimentos e raciocínios a elas subjacentes, quer a especialistas, quer a não especialistas, de uma forma clara sem ambiguidades.

CONHECIMENTOS PRÉVIOS:
São considerados essenciais para a frequência desta unidade curricular os conhecimentos relativos ao cálculo diferencial e integral adquiridos na Unidade Curricular Análise Matemática 1 e os relativos ao cálculo matricial adquiridos na Unidade Curricular Álgebra, ambas leccionadas no 1º Ano, 1º Semestre do MIEC.


RESULTADOS ESPERADOS:
No fim do período lectivo os estudantes devem ser capazes de:
1- Descrever a geometria das funções escalares.
2- Discutir a continuidade de funções escalares de várias variáveis.
3 - Obter derivadas parciais e direccionais para campos escalares e saber construir o vector gradiente. Calcular a matriz jacobiana, a divergência e o rotacional de um campo vectorial.
4 - Calcular derivadas de funções compostas, de campos escalares e vectoriais, bem como de funções definidas implicitamente.
5 - Obter máximos e mínimos livres de funções de duas ou três variáveis, bem como máximos e mínimos condicionados dessas mesmas funções, com uma ou duas restrições.
6 - Calcular integrais duplos sobre regiões limitadas de R2, quer em coordenadas cartesianas quer em coordenadas polares e calcular áreas dessas regiões.
7 - Calcular integrais triplos sobre regiões limitadas de R3, obter o volume dessas regiões por integração e transformar integrais triplos em coordenadas cartesianas para integrais em coordenadas cilíndricas e esféricas.
8- Usar representações paramétricas de curvas em Rn, obter o seu vector tangente e normal; calcular integrais de linha ao longo dessas curvas.
9- Descrever parametrizações de superfícies, calcular integrais de superfície de funções escalares e de funções vectoriais.
10- Relacionar um integral duplo com um integral de linha, usando o teorema de Green.
11- Saber aplicar o teorema de Stokes e o teorema de Gauss.

Programa

Programa
1. Diferenciabilidade [30%]
1.1. A geometria das funções escalares de várias variáveis: curvas de nível, secções e gráficos.
1.2. Limites e Continuidade: Conjunto aberto, bola e vizinhança de um ponto. Limite segundo um conjunto. Limite e continuidade; teoremas sobre continuidade.
1.3. Diferenciabilidade: Derivadas parciais. Aproximação Linear. Derivada num ponto de uma função escalar. Plano tangente ao gráfico de uma função escalar num ponto. Derivada num ponto de uma função vectorial. Matriz derivada. Rotacional e Divergência de um campo de vectores.
1.4. Propriedades da Derivada.
1.5. Gradiente e derivada direccional.

2. Derivadas de ordem Superior. Máximos e Mínimos de Funções Escalares. [10%]
2.1. Teorema de Taylor.
2.2. Extremos de uma função escalar: Pontos de Máximo e Mínimos locais. Pontos críticos. Matriz Hessiana. Extremos absolutos. Extremos absolutos num compacto.
2.3. Extremos condicionados.
2.4. Derivação implícita.

3. Integrais duplos e Triplos [20%]
3.1. Descrição cartesiana de regiões com interior não vazio em R^2 e R^3.
3.2. Definição de integral (segundo Riemann); teorema de Fubini.
3.3. Integrais duplos: áreas de regiões com interior não vazio em R^2.
3.4. Integrais triplos: volumes de regiões com interior não vazio em R^3.
3.5. Teorema da mudança de variável: coordenadas polares e coordenadas cilíndricas e esféricas.

4. Curvas e Superfícies [30%]
4.1. Curvas: parametrizações; vector velocidade e vector tangente; pontos angulosos e parametrizações regulares;
4.2. Integração de funções escalares; comprimento de uma curva.
4.3. Integração de campos vectoriais: integração ao longo de curvas e interpretação física (circulação de um fluído e trabalho de um campo de forças e energia cinética);
4.4. Superfícies: superfícies sem bordo e parametrizações; superfícies com bordo; plano tangente e vector normal; pontos angulosos e parametrizações regulares; superfícies orientáveis;
4.5. Integração de funções escalares e vectoriais sobre superfícies.
4.6. Interpretação física dos integrais de campos vectoriais sobre superfícies: (quantidade de fluxo que atravessa uma superfície)

5. Teorema Fundamentais [10%]
5.1. O rotacional no plano e o teorema de Green (aplicações do teorema de Green).
5.2. Teorema de Stokes (aplicações do teorema de Stokes). Interpretação física: fluidos irrotacionais e campos conservativos.
5.3. Teorema de Gauss (aplicações do teorema de Gauss). Interpretação física: fluidos incompressíveis.

DISTRIBUIÇÃO PERCENTUAL:
Componente Científica: 75%
Componente Tecnológica: 25%

Bibliografia Obrigatória

Maria do Carmo Coimbra; Lições de Análise Matemática 2, 2010 ((A publicar nos conteúdos da unidade curricular no SIFEUP))
Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba; Vector calculus. ISBN: 0-7167-1856-1

Bibliografia Complementar

Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba; Study Guide for Vector Calculus. ISBN: 0-7167-1980-0
Tom M. Apostol; Cálculo. ISBN: 84-291-5016-1 (vol. 2)
Elon Lages Lima; Curso de análise. ISBN: 85-244-0108-7

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Aulas teóricas com exposição de conceitos, princípios e teorias. Os conceitos são expostos de modo claro e objectivo, fazendo uso frequente de exemplos de natureza física e geométrica.

Aulas práticas demonstrativas com resolução de exercícios de aplicação que constam de fichas elaboradas para o efeito.

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Descrição	Tipo	Tempo (Horas)	Peso (%)	Data Conclusão
Participação presencial (estimativa)	Participação presencial	65,00
Realização de Exames	Exame	6,00		2011-06-15
Realização de Exercícios Práticos para avaliação	Teste	4,00		2011-06-03
	Total:	-	0,00

Componentes de Ocupação

Descrição	Tipo	Tempo (Horas)	Data Conclusão
Estudo individual para acompanhamento das aulas	Estudo autónomo	52	2011-06-03
Estudo para os Exame	Estudo autónomo	30	2011-07-15
Dúvidas com docentes da UC	Estudo autónomo	10	2011-06-03
	Total:	92,00

Obtenção de frequência

O limite de faltas permitido é fixado pelo Artigo 4ª-nº 1 (25% do nº de aulas práticas previstas)
das Normas Gerais de Avaliação da FEUP.

Fórmula de cálculo da classificação final

E: resultado do exame final escrito, a realizar na época normal ou de recurso, expresso na escala de 1 a 20, arredondado às centésimas.

P: nota da avaliação distribuída expressa na escala de 1 a 20, arredondada às centésimas.

A classificação final resulta da aplicação da fórmula, Classificação final = Max{E, 0.8 E + 0.2 P}, arredondada às unidades.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

REGRAS ESPECIAIS PARA ESTUDANTES EM MOBILIDADE:
Domínio da Língua Portuguesa e/ou Inglesa;
Frequência de disciplinas de graduação introdutórias à temática científica versada na presente disciplina;
Avaliação através de exame e/ou trabalho(s) especialmente definidos em face do perfil do estudante.

Melhoria de classificação

Nos termos do Artigo 10º das Normas Gerais de Avaliação

Observações

CONHECIMENTOS PRÉVIOS:
São considerados essenciais para a frequência desta unidade curricular os conhecimentos relativos ao cálculo diferencial e integral adquiridos na Unidade Curricular Análise Matemática 1 e os relativos ao cálculo matricial adquiridos na Unidade Curricular Álgebra, ambas leccionadas no 1º Ano, 1º Semestre do MIEC.

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Tempo de trabalho estimado fora das aulas: 4 horas