Análise Matemática 1
Áreas Científicas |
Classificação |
Área Científica |
OFICIAL |
Matemática |
Ocorrência: 2012/2013 - 1S
Ciclos de Estudo/Cursos
Língua de trabalho
Português
Objetivos
OBJETIVOS:
Compreensão, manipulação e aplicação dos conceitos de integração de funções reais de variável real e de série. Fornecer um conjunto base de conhecimentos matemáticos necessários ao bom funcionamento das outras unidades curriculares do curso. Desenvolver o raciocínio científico-matemático e a capacidade de abertura à aplicação dos conceitos matemáticos.
COMPETÊNCIAS ESPERADAS:
No fim do período letivo os estudantes devem, em cada uma das vertentes seguintes, ser capazes de:
Conhecimento: Descrever os principais resultados na área de formação de base da análise matemática, nomeadamente no domínio do cálculo diferencial e integral, das séries numéricas e da aproximação polinomial de funções reais de variável real por recurso a Polinómios de Taylor. Identificar as técnicas a usar na resolução de problemas
Compreensão: Construir uma atitude e um pensamento adequados à resolução de problemas de Engenharia
Aplicação: Desenvolver uma base sólida de formação para disciplinas posteriores, que permita a correta utilização das técnicas e a formulação rigorosa dos problemas
Programa
1. Cálculo diferencial de funções reais de variável real:
1.1. Metodologia da matemática, fundamentos de lógica matemática, axiomática dos números reais, breves noções topológicas. Teorema de Bolzano-Weierstrass
1.2. Funções trigonométricas, trigonométricas inversas e hiperbólicas
1.3 Funções reais de variável real: limites e continuidade. Teoremas dos valores intermédios e de Weierstrass
1.4. Cálculo diferencial de funções de uma variável: definições e interpretação geométrica. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy. Derivada da função inversa e composta. Regras práticas e aplicações da derivação.
2. Cálculo integral de funções reais de variável real:
2.1. Integral de Riemann, operações com integrais, integrais indefinidos. Teorema fundamental do cálculo, fórmula de Barrow e teorema do valor médio
2.2. Integração de funções racionais. Integração por partes e integração por substituição
2.3. Integrais impróprios
2.4. Cálculo de áreas no plano.
3. Sucessões e séries numéricas:
3.1. Sucessão de Cauchy, análise de convergência e soma de uma série, convergência simples e convergência absoluta
3.2.Séries de termos positivos: critérios de comparação, d' Alembert, de Cauchy e do integral
3.3. Séries de termos alternados: critério de Leibniz
4. Sucessões e séries de funções:
4.1. Convergência pontual e convergência uniforme
4.2. Séries de potências: raio e intervalo de convergência
4.3. Aproximação polinomial: Polinómio e Série de Taylor.
DISTRIBUIÇÃO:
A distribuição estimada percentual do conteúdo programático está de acordo com a tabela seguinte:
Ponto do Programa % estimada
1 25
2 40
3 20
4 15
Conteúdo Científico – 100%
DEMONSTRAÇÃO DA COERÊNCIA DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS COM OS OBJETIVOS DA UNIDADE CURRICULAR:
Esta unidade curricular integra o grupo de unidades curriculares da área científica de Matemática, centrando-se sobretudo em fornecer aos estudantes uma formação sólida nos conceitos e no cálculo de integração de funções reais de variável real e de séries numéricas e de funções. O conteúdo programático inclui o cálculo diferencial, o cálculo integral, sucessões e séries numéricas e séries de funções. Estas matérias são a base do cálculo matemático, sendo apresentados nas aulas os conceitos e os resultados recorrendo a exemplos elucidativos com recurso eventual a software apropriado.
Bibliografia Obrigatória
Apostol, Tom M.; Calculus
Stewart, James; Cálculo, Thompson. ISBN: 85-221-0479-4 (5.ª edição (vol.1))
James Stewart; Cálculo. ISBN: 85-221-0236-8 (vol. 2)
Apontamentos e colectânea de exercícios de apoio às aulas, disponível na opção Conteúdos da página SIFEUP da UC
Bibliografia Complementar
M. Spivac; Calculus, Volumes 1 e 2, Addison Wesley
Alves de Sá, Ana e Louro, Bento; Sucessões e Séries, Teoria e prática, Escolar Editora, 2009
Larson, Hostetler & Edwards; Cálculo, Volumes 1 e 2 (Oitava Edição), McGraw-Hill, 2006. ISBN: 85-86804-56-8
Métodos de ensino e atividades de aprendizagem
Nas aulas (teórico-práticas) são apresentados os conceitos e resultados, recorrendo à interpretação geométrica (quando possível) e a exemplos elucidativos. Algumas demonstrações construtivas são apresentadas. Forte apelo ao entendimento dos conceitos e à capacidade de cálculo. Ao longo da unidade curricular os estudantes são alertados para as ferramentas computacionais disponíveis, suas capacidades e limitações. Nas aulas são realizadas algumas demonstrações de utilização de software adequado e o estudante é encaminhado na resolução de problemas selecionados.
DEMONSTRAÇÃO DA COERÊNCIA DAS METODOLOGIAS DE ENSINO COM OS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM DA UNIDADE CURRICULAR:
A apresentação dos conceitos e dos resultados recorrendo à interpretação geométrica e a exemplos elucidativos pretende desenvolver o raciocínio científico-matemático e a capacidade de abertura à aplicação dos conceitos matemáticos. Desta forma constrói-se uma atitude e um pensamento adequados à resolução de problemas de Engenharia e desenvolve-se uma base sólida de formação para unidades curriculares posteriores, que permita a correta utilização das técnicas e a formulação rigorosa dos problemas.
Palavras Chave
Ciências Físicas > Matemática > Análise matemática
Tipo de avaliação
Avaliação distribuída sem exame final
Componentes de Avaliação
Descrição |
Tipo |
Tempo (Horas) |
Peso (%) |
Data Conclusão |
Participação presencial (estimativa) |
Participação presencial |
75,00 |
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Total: |
- |
0,00 |
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Obtenção de frequência
Das regras de avaliação do MIEC para 2012/2013:
“A obtenção de classificação final exige o cumprimento de assiduidade à unidade curricular. Considera‐se
que um estudante cumpre a assiduidade a uma unidade curricular se, tendo estado regularmente inscrito,
não exceder o número limite de faltas correspondente a 25% de cada um dos tipos de aulas previstos.
Estão dispensados da verificação das condições de assiduidade: i) os casos previstos na lei, nomeadamente
os trabalhadores estudantes; ii) os estudantes que foram admitidos a exame no ano letivo anterior.”
Fórmula de cálculo da classificação final
Componentes da avaliação:
Dois mini-testes MT1 e MT2
Dois exercícios práticos , realizados nas aulas, antes do MT1 (EP1, EP2)
Dois exercícios práticos , realizados nas aulas, antes do MT2 (EP3, EP4)
A classificação final (CF) é determinada de acordo com o o seguinte:
Classificação média do EP1 e EP2 (EP12)
Classificação do 1.º mini-teste MT1
M1 = 0.2 max {EP12, Grupo I de MT1} + 0.8 (Grupo II de MT1)
Classificação média do EP3 e EP4 (EP34)
Classificação do 1.º mini-teste MT2
M2 = 0.2 max {EP34, Grupo I de MT2} + 0.8 (Grupo II de MT2)
CF = 0.5 M1 + 0.5 M2
Os estudantes que, sendo admitidos a exame, não obtenham aprovação após a avaliação descrita, têm acesso a um exame de recurso, podendo optar por ser avaliados apenas sobre a matéria correspondente a um dos mini-testes (provas de 1 h 30 min) ou sobre toda a matéria (prova de 3 horas). A classificação final é apurada com as expressões indicadas para M1, M2 e CF, substituindo M1, M2 ou CF de acordo com os resultados do exame.
Melhoria de classificação
Os estudantes que tenham sido aprovados à unidade curricular e pretendam melhorar a sua classificação, podem requerer acesso ao exame final, optando pela avaliação sobre uma parte da matéria (M1 ou M2, mantendo a classificação da outra parte) ou sobre toda a matéria. Em qualquer caso, se as classificações de exame forem inferiores, subsistem as classificações da avaliação distribuída.
Observações
Tempo de trabalho semanal estimado fora das aulas: 5 horas.
Nas várias componentes de avaliação não é permitida a utilização de qualquer tipo de máquina de calcular.
A fraude na realização de uma prova - em qualquer das modalidades - implica a anulação da mesma (Artigo 13.º das Normas Gerais de Avaliação).
CONHECIMENTOS PRÉVIOS:
O estudante deverá ter conhecimentos básicos sobre funções reais a uma variável real, derivação, polinómios e lógica.