Complementos de Geometria

Código:

M3004

Sigla:

M3004

Nível:

300

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2024/2025 - 2S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:B	0	Plano de Estudos Oficial	3	-	6	48	162
L:CC	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2021/22	2	-	6	48	162
			3
L:F	0	Plano de Estudos Oficial	2	-	6	48	162
			3
L:G	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2017/18	2	-	6	48	162
			3
L:M	43	Plano de Estudos Oficial	2	-	6	48	162
			3
L:Q	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2016/17	3	-	6	48	162

Língua de trabalho

Português - Suitable for English-speaking students

Objetivos

Alargar o âmbito do estudo de geometria para geometrias não euclidianas, nomeadamente para as geometrias esférica, hiperbólica, afim e projetiva, usando sobretudo, mas não exclusivamente, métodos da geometria análitica.

Resultados de aprendizagem e competências

Ao completar a UC o estudante deve:

(1) Conhecer propriedades e resultados básicos das geometrias esférica, hiperbólica, afim e projetiva e compreender a relação entre elas.

(2) Compreender as semelhanças e diferenças entre as geometrias esférica, hiperbólica e euclidiana, e apreciar a relevância do postulado de paralelas de Euclides.

(3) Compreender a ideia de estudar uma geometria através das suas transformações e ser capaz de o fazer, em particular usando as ferramentas da álgebra linear.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Pré-requisitos: Geometria (M1028), ALGA I (M1010), ALGA II (M1036), Álgebra (M2032).

Programa

Geometria esférica. Triângulos esféricos: fórmula do co-seno esférico, área. O grupo O(3) como o grupo de isometrias da geometria esférica. Geometria hiperbólica: modelo do hiperbolóide. Triângulos hiperbólicos: fórmula do co-seno hiperbólico, área. Isometrias do plano hiperbólico como transformações de Lorentz. Modelos do semi-plano superior e do disco de Poincaré. Isometrias do plano hiperbólico como transformações de Möbius; classificação. Discussão do postulado de paralelas de Euclides e a sua independência. Geometria afim: coordenadas afins, transformações afins. Geometria projetiva: espaço projetivo, coordenadas homogéneas e transformações projetivas. Completamento projetivo do plano afim. O teorema fundamental da geometria projetiva. Transformações projetivas da reta projetiva e a razão dupla. Teoremas de Desargues e Pappus. Dualidade. Cónicas. Geometria euclidiana, elíptica e hiperbólica como subgeometrias da geometria projetiva. Poderão ser abordados tópicos adicionais.

Bibliografia Obrigatória

Peter Gothen; Complementos de Geometria, 2021 (Notas de aulas)

Bibliografia Complementar

Leonor Godinho, Margarida Mendes Lopes; Introdução à Geometria, IST Press, 2024. ISBN: 978-989-8481-98-6
Birger Iversen; Hyperbolic geometry. ISBN: 0-521-43528-5
V. V. Nikulin; Geometries and groups
Miles Reid and Balazs Szendroi; Geometry and Topology, Cambridge University Press, 2005. ISBN: 978-0-521-61325-5
John Stillwell; Geometry of surfaces. ISBN: 0-387-97743-0

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Exposição e discussão da matéria; discussões de questões e problemas; resolução de exercícios.

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Geometria

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Teste	100,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	114,00
Frequência das aulas	48,00
Total:	162,00

Obtenção de frequência

Sem condições

Fórmula de cálculo da classificação final

Haverá dois testes ao longo do semestre. A nota final é a média aritmética da nota dos testes.

O exame da época de recurso terá partes correspondentes a cada um dos dois testes, e conta para a nota final a melhor entre a nota do teste e a nota da parte correspondente do exame.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Por exame oral e/ou escrita.

Melhoria de classificação

Por realização de exame de acordo com os regulamentos. Resultados de avaliação distribuída do ano letivo corrente ou anos letivos anteriores não poderão ser usados.