Análise Real III

Código:

M2033

Sigla:

M2033

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2024/2025 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:M	0	Plano de Estudos Oficial	2	-	9	72	243
L:MA	0	Plano de Estudos Oficial	2	-	9	72	243

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Introduzir, de uma forma concreta, os resultados principais da Análise Clássica de funções de várias variáveis assim como os da Análise Vectorial, enfatizando técnicas específicas desta área assim como suas aplicações.

Resultados de aprendizagem e competências

Pretende-se que o estudante no final da unidade curricular tenha adquirido suficiente domínio e compreensão dos fundamentos e resultados principais constantes do programa, incluindo as respectivas técnicas.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Análise Real I e II, Álgebra Linear e Geometria Analítica I e II.

Programa

1) Noção de espaço métrico. Bolas abertas e bolas fechadas. Ponto interior, ponto fronteira, ponto de aderência e ponto de acumulação; interior, aderência e fronteira de um conjunto. Abertos, fechados e vizinhanças. Sucessões de Cauchy e sucessões convergentes. Espaços métricos completos. Espaços compactos. Espaços conexos e espaços conexos por arcos.
2) Funções de Lipchitz e contracções. Teorema de Banach sobre pontos fixos de contracções. Espaços de funções. Convergência pontual e convergência uniforme.
3) Teoremas da função inversa e da função implícita.
4) Aplicações: multiplicadores de Lagrange.
5) Curvas parametrizadas em R^n. Velocidade e aceleração. Curvatura e torção. Triedro de Frenet.
6) Caminhos de classe C^1 em R^n. Operações sobre caminhos. Campos de vectores. Integrais de linha. Campos de gradientes e campos conservativos. Campos de vectores fechados. Teorema de Green.
7) Superfícies parametrizadas e superfícies regulares em R^3. Espaço tangente, espaço normal, plano tangente e recta normal. Área de uma porção de superfície; integral de uma função escalar ao longo de uma superfície. Orientação.  
8) Divergência de um campo de vectores. Fluxo de um campo de vectores ao longo de uma superfície. Rotacional. Teoremas de Stokes e de Gauss. Lei de Gauss.

Bibliografia Obrigatória

Marsden, Tromba; Vector Calculus, W. H. Freeman and Company, 1988. ISBN: 0-7167-1856-1
Marsden, Hoffman; Elementary Classical Analysis, W. H. Freeman and Company, 1993. ISBN: 0-7167-2105-8
Elon Lages Lima; Espaços Métricos, Projecto Euclides, 2003. ISBN: 85-244-0158-3

Bibliografia Complementar

Munkres James R.; Analysis on manifolds. ISBN: 0-201-51035-9
Serge Lang; Calculus of Several Variables, Springer, 1987. ISBN: 0-387-96405-3

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Exposição da matéria nas aulas teóricas. Interligação entre as aulas teóricas e as aulas teórico-práticas quer a nível de exercícios e de exemplos quer a nível de resultados teóricos.

É pressuposto que de forma autónoma mas orientada o estudante recorra à bibliografia obrigatória para complementar a exposição feita na aula teórica, explorar os exemplos e resolver exercícios.

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Análise matemática

Tipo de avaliação

Avaliação por exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	100,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	171,00
Frequência das aulas	72,00
Total:	243,00

Obtenção de frequência

Não aplicável

Fórmula de cálculo da classificação final

A classificação final é a obtida no exame (na época normal ou na época de recurso). A aprovação corresponde a uma classificação maior ou igual a 9,5 valores.

Todas as situações de avaliação não previstas no ponto anterior, em particular melhorias de classificação noutras épocas e provas de substituição requeridas de acordo com as situações previstas nos regulamentos, reduzir-se-ão a uma única prova oral ou escrita, que pode ser antecedida de uma prova oral simples para verificar se o estudante está minimamente preparado para realizar o exame.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Os exames requeridos ao abrigo de estatutos especiais constarão de uma prova oral ou escrita que poderá ser antecedida de uma prova oral simples para verificar se o estudante está minimamente preparado para realizar o exame.

Melhoria de classificação

Por realização de exame de acordo com os regulamentos. Resultados de avaliação distribuída de anos letivos anteriores não poderão ser usados.