Análise Real II

Código:

M1037

Sigla:

M1037

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2024/2025 - 2S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:M	115	Plano de Estudos Oficial	1	-	9	72	243
L:MA	106	Plano de Estudos Oficial	1	-	9	72	243

Língua de trabalho

Português

Objetivos

• Introduzir os conceitos e resultados fundamentais de séries numéricas e de sucessões e séries de funções reais de variável real.


• Introduzir os conceitos e resultados fundamentais de Análise Diferencial e Integral em R^n.

Resultados de aprendizagem e competências

Ao completar esta unidade curricular, o estudante deve saber:

• os resultados e técnicas básicos sobre séries de números reais e sucessões e séries de funções reais de variável real, nomeadamente de séries de potências;
• os resultados fundamentais de análise diferencial de funções vetoriais de variável vetorial, designadamente as noções de continuidade, de derivada num ponto, derivadas parciais, direcionais, gradiente e espaço tangente ao gráfico, bem como os resultados básicos e técnicas relativas à determinação de extremos de funções escalares, definidas em abertos ou condicionados;
• os conceitos, resultados básicos e métodos de cálculo de integrais múltiplos.

Modo de trabalho

Presencial

Programa

1. SÉRIES

• Séries  de números reais e critérios de convergência.
• Sucessões  e  séries  de  funções  reais  de  variável real:  convergência  simples  e  uniforme; critérios  de  convergência; séries  de  funções;  continuidade, diferenciabilidade e integrabilidade de funções definidas por séries.

2. ANÁLISE DIFERENCIAL EM R^n

• Conceitos básicos de topologia de R^n: abertos, fechados, conjuntos limitados, compactos, pontos de acumulação e pontos isolados.
• Conceitos gerais sobre funções vetoriais de variável vetorial: gráficos, conjuntos de nível, limites e continuidade.
• Diferenciabilidade: derivadas  direcionais e parciais; matriz jacobiana e derivada num ponto; derivada da composta; gradiente de funções escalares; espaço tangente ao gráfico de uma função.
• Máximos e mínimos de funções escalares: derivadas de ordem superior e matriz hesseana; extremos locais e globais; determinação dos extremos de funções deriváveis definidas em abertos; extremos condicionados e método dos multiplicadores de Lagrange.

 
3. INTEGRAIS MÚLTIPLOS

• Definição de integral de Riemann de uma função (de várias variáveis) sobre um rectângulo e sobre uma região limitada. Condições de integrabilidade.
• Teorema de Fubini e cálculo de integrais duplos e triplos.
• Teorema da mudança de coordenadas para integrais múltiplos. Coordenadas polares, cilíndricas e esféricas.

Bibliografia Obrigatória

Michael Spivak; Calculus. ISBN: 0-914098-89-6
Jerrold E. Marsden; Vector calculus. ISBN: 0-7167-0462-5

Bibliografia Complementar

Jerrold E. Marsden; Elementary classical analysis. ISBN: 0-7167-0452-8

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

As horas de contacto estão distribuídas em aulas teóricas e teórico-práticas. Nas primeiras são apresentados os conteúdos do programa, recorrendo-se a exemplos para ilustrar os conceitos tratados e orientar os estudantes. Nas aulas teórico-práticas são resolvidos exercícios e problemas, previamente indicados. São disponibilizados materiais de apoio na página da disciplina. Para além das aulas, há períodos de atendimento semanais onde os estudantes têm oportunidade de esclarecer dúvidas.

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Análise matemática

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Teste	100,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	171,00
Frequência das aulas	72,00
Total:	243,00

Obtenção de frequência

Não é exigida assiduidade.

Fórmula de cálculo da classificação final

A avaliação será realizada através de três testes, correspondentes a cada um dos capítulos do programa, de acordo com as especificações seguintes:

1º teste

2º teste

• Matéria em avaliação: Análise Vetorial


• Cotação: 9 valores


• Duração: 1,5 horas


• A realizar em data a determinar durante o mês de maio


• Obrigatório para aprovação na época normal

3º teste

• Matéria em avaliação: Integrais múltiplos


• Cotação: 5 valores


• Duração: 1 hora


• a realizar durante a época normal


• Obrigatório para aprovação na época normal 

 A classificação final é obtida pela soma das classificações obtidas nos testes.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Os exames requeridos ao abrigo de estatutos especiais constarão de uma prova escrita que poderá ser precedida de uma prova oral eliminatória, para avaliar se o aluno está em condições mínimas de tentar obter aprovação à disciplina na prova escrita.