Análise III

Código:

M2037

Sigla:

M2037

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2023/2024 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Física

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:B	0	Plano de Estudos Oficial	3	-	6	48	162
L:CC	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2021/22	2	-	6	48	162
			3
L:F	51	Plano de Estudos Oficial	2	-	6	48	162
L:G	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2017/18	2	-	6	48	162
			3
L:Q	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2016/17	3	-	6	48	162

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Introdução aos métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias com incidência especial nas equações e sistemas de equações diferenciais lineares.
Superfícies regulares de R^3, Integrais de linha e integrais de superfície. Teoremas  clássicos de Análise Vectorial: Teoremas de Green, de Gauss e de Stokes.

Resultados de aprendizagem e competências

Competências de resolução de problemas.
Compreensão teórica e aplicação dos resultados e técnicas introduzidos a problemas da Física.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Conteúdos das disciplinas Cálculo Infinitesimal I (ou Análise Real I), Cálculo Infinitesimal II (ou Análise Real II)  e Álgebra Linear I.

Programa

A. Equações diferenciais ordinárias: Resolução do problema de valor inicial para vários tipos  de equações diferenciais:

1.  Enunciado do teorema de existência e unicidade de solução do problema de valor  incial de um sistema de equações diferenciais  de primeria ordem com coeficientes de classe C^1. Redução de (sistemas de) equações diferenciais de ordem superior a 1 ao caso de um sistema de equações diferenciais de primeira ordem.

2. Resolução explícita de alguns tipos de equações diferenciais  de primeira ordem lineares, em variáveis separáveis,  homogéneas, de Bernoulli, de Ricatti e exactas

3.  Equaçoes diferenciais lineares com coeficientes contínuos. Existência e unicidade de soluções do problema de Cauchy.  Espaço vectorial das soluções da equação homogénea associada.  Sistema fundamental de soluções.  Método de redução de ordem. No caso de uma equação diferencial linear com coeficientes constantes utilização do polinómio característico para determinar um sistema fundamental de soluções.  Métodos para determinar uma solução particular: método dos coeficientes indeterminados, método de  Lagrange da variação das constantes. Exponencial de um operador linear. Sistemas de equações diferenciais lineares.


B. Análise Vectorial:

1. Caminhos em abertos de  R^n. Integrais de linha, 
Campos de  vectores em abertos de R^n, campos de vectores conservativos, gradiente de uma função escalar, campos de gradientes. Abertos convexos.  Relações entre campos fechados, gradientes e conservativos. Teorema de Green.

2.  Subvariedades regulares  R^3: imagem inversa de um valor regular de uma função escalar, parametrizações regulares,  espaços tangente e normal num ponto. Orientação de uma superfície regular. Orientação induzida no bordo.

3. Integrais de Superffície de funções escalares.
Áreas de superfícies.  Fluxo de um campo de vectores ao longo de uma superfície.  Teoremas da divergência de Gauss e de Stokes

Bibliografia Obrigatória

Luísa Madureira; Problemas de Equações Diferenciais Ordinárias e Transformadas de Laplace, Quântica Editora, 2020. ISBN: 9789898927583 (as páginas e os exercícios a indicar nas aulas referem-se a esta edição (5ª))
Martin Braun; Differential equations and their applications. ISBN: 0-387-97894-1
Jerrold E. Marsden; Vector calculus. ISBN: 978-1-4292-2404-8

Observações Bibliográficas

Os apontamentos das aulas teóricas também fazem parte da  "bibliografia principal".

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Aulas teóricas:  Exposição das matérias do programa. Proposta de exercícios.
Aulas práticas: Resolução de parte  dos exercícios propostos e esclarecimento de dúvidas sobre a resolução de problemas e trabalhos propostos.
Incentiva-se fortemente o trabalho autónomo. 

 

 

 

 

 

 

Tipo de avaliação

Avaliação por exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	100,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	114,00
Frequência das aulas	48,00
Total:	162,00

Obtenção de frequência

Não é obrigatória a frequência das aulas Teóricas ou teórico-prácticas

Fórmula de cálculo da classificação final

A classificação final será a nota obtida do exame final arredondada às unidades.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Qualquer tipo de avaliação especial poderá revestir uma das seguintes formas: exclusivamente uma prova oral; uma prova oral e uma prova escrita,  somente uma prova escrita. A opção por uma das alternativas compete exclusivamente ao júri da unidade curricular.