Análise II

Código:

M1015

Sigla:

M1015

Nível:

100

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2023/2024 - 2S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Física

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:B	0	Plano de Estudos Oficial	3	-	9	72	243
L:CC	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2021/22	2	-	9	72	243
L:F	73	Plano de Estudos Oficial	1	-	9	72	243
			2
L:G	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2017/18	2	-	9	72	243
			3
L:Q	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2016/17	3	-	9	72	243

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Ao completar esta unidade curricular, o estudante deve saber os resultados básicos do cálculo de curvas parametrizadas no plano e no espaço, os resultados fundamentais de análise de funções de várias variáveis e   os métodos de integração múltipla.

Resultados de aprendizagem e competências

Ao completar esta unidade curricular, o estudante deve saber: os resultados básicos do cálculo de curvas parametrizadas no plano e no espaço; os resultados fundamentais de análise de funções de várias variáveis e compreender as noções de derivada parcial, gradiente, pontos de máximo e mínimo local, plano tangente ao gráfico de uma função de duas variáveis sendo capaz de determinar valores extremos de funções reais de várias variáveis com restrições; os métodos de integração múltipla e ser capaz de os usar na determinação de áreas, volumes, etc, de regiões do plano ou do espaço recorrendo, se necessário, a mudança de variáveis.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Cálculo real e conceitos básicos de Álgebra Linear e Geometria Analítica.

Programa

Curvas parametrizadas.
Velocidade, aceleração, curvatura, o triedro de Frenet.  

Cálculo diferencial de funções vectoriais de várias variáveis.
Gráficos de funções (escalares) de várias variáveis, curvas de nível e superfícies de nível. Abertos e fechados em R^n. Ponto de acumulação e ponto isolado. Limites e continuidade de funções. Derivadas direccionais e derivadas parciais. Derivada de uma função escalar num ponto. Gradiente. Derivabilidade e gradiente. Plano tangente ao gráfico de uma função. Interpretação do vector gradiente. Recta normal e hiperplano tangente a uma superfície de nível num ponto. Derivadas de ordem superior. Igualdade das derivadas parciais mistas. Derivada de uma função vectorial num ponto. Matriz jacobiana. Derivada da função composta. Exemplos. Teorema da função inversa. Máximos e mínimos de funções escalares de várias variáveis. Classificação dos extremos usando derivadas parciais de segunda ordem. Extremos condicionados: o método dos multiplicadores de Lagrange.

Integrais múltiplos.
Definição de integral de uma função (de várias variáveis) sobre um rectângulo e sobre uma região limitada. Teorema de Fubini. Cálculo de integrais duplos e triplos via integrais iterados. Teorema da mudança de coordenadas para integrais múltiplos. Aplicações: integrais duplos em coordenadas polares, e integrais triplos em coordenadas cilíndricas e esféricas.

Bibliografia Obrigatória

Jerrold Marsden; Calculus iii. 2nd ed. ISBN: 0-387-90985-0
James Stewart; Calculus. ISBN: 978-1-305-27237-8
Serge Lang; Calculus of several variables. ISBN: 0-387-96405-3

Bibliografia Complementar

Jerrold Marsden; Calculus ii. 2nd ed. ISBN: 0-387-90975-3

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

As horas de contacto estão distribuídas em aulas teóricas e teórico-práticas. Nas primeiras são apresentados os conteúdos do programa, recorrendo-se a exemplos para ilustrar os conceitos tratados e orientar os estudantes. Nas aulas teórico-práticas são resolvidos exercícios e problemas, previamente indicados. São disponibilizados materiais de apoio na página da unidade.

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Teste	100,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	171,00
Frequência das aulas	72,00
Total:	243,00

Obtenção de frequência

Não é exigida assiduidade.

Fórmula de cálculo da classificação final

Avaliação distribuída sem exame final

A avaliação distribuída é efetuada com base nos resultados de dois testes, cada valendo 10 valores, em datas a designar mais tarde. A classificação final será a soma das notas dos dois  testes.

Qualquer estudante pode optar por não se submeter à avaliação distribuída e obter a classificação final realizando o exame da Época de Recurso.

Em qualquer dos casos, um estudante com nota final igual ou superior a 16.5 valores (≥16.5) poderá ter que realizar uma prova extra (oral ou escrita).

Para o acesso às de provas de avaliação, não é imposta qualquer condição aos estudantes inscritos.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Segundo as Normas Gerais de Avaliação. 

Qualquer exame requerido ao abrigo de estatutos especiais constará de uma prova escrita que poderá ser precedida de uma prova (oral ou escrita) eliminatória, destinada a avaliar se o aluno está em condições mínimas de tentar obter aprovação à disciplina na prova escrita.

Melhoria de classificação

Aplica-se o regulamento geral da avaliação.