Elementos de Topologia e Análise
Áreas Científicas |
Classificação |
Área Científica |
OFICIAL |
Matemática |
Ocorrência: 2023/2024 - 1S
Ciclos de Estudo/Cursos
Língua de trabalho
Português
Objetivos
Compreensão de certos teoremas clássicos da topologia e da análise funcional, e das suas aplicações à análise matemática.
Resultados de aprendizagem e competências
Descritos nos objectivos.
Modo de trabalho
Presencial
Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)
Análise Real I, II, III
Álgebra Linear e Geometria Analítica I, IIPrograma
I - Elementos de Topologia:
- Espaços topológicos; conceitos básicos e exemplos.
- Funções contínuas.
- Sucessões de Cauchy. Completude. Completamento.
- Espaços conexos.
- Espaços compactos.
- Espaços produto. Teorema de Tychonoff.
II - Elementos de Análise:
- Espaços normados. Espaços de dimensão finita. Espaços de Banach.
- Operadores lineares limitados. Espaço dual.
- Espaços com produto interno. Espaços de Hilbert. Bases ortonormais. Espaços de Hilbert separáveis. Teorema de Representação de Riesz.
III - Aplicações:
- Teorema de Baire; Funções contínuas sem derivada; Princípio da limitação uniforme.
- Teorema do ponto fixo de Banach; Existência de soluções de equações diferenciais; Teorema da função inversa.
- Teorema de Arzelà-Ascoli; Espaços de funções Lipschitz e Hölder; Operadores integrais.
- Teorema de Stone-Weierstrass; Separabilidade do espaço das funções contínuas. Espaço L^2; séries de Fourier.
- Teorema do ponto fixo de Brouwer
Bibliografia Obrigatória
James R. Munkres;
Topology. ISBN: 978-1-292-02362-5
Elon Lages Lima;
Espaços métricos
Chaim Samuel Honig;
Aplicações da topologia à análise
Gueorgui V. Smirnov;
Curso de análise linear. ISBN: 972-592-153-4
Bibliografia Complementar
H. L. Royden;
Real analysis. ISBN: 0-02-404151-3
Métodos de ensino e atividades de aprendizagem
Exposição da matéria em aulas teórico-práticas com resolução de exercícios exemplificativos.
Palavras Chave
Ciências Físicas > Matemática > Análise matemática
Tipo de avaliação
Avaliação distribuída sem exame final
Componentes de Avaliação
Designação |
Peso (%) |
Teste |
100,00 |
Total: |
100,00 |
Componentes de Ocupação
Designação |
Tempo (Horas) |
Estudo autónomo |
114,00 |
Frequência das aulas |
48,00 |
Total: |
162,00 |
Obtenção de frequência
Não haverá controlo de assiduidade.
Fórmula de cálculo da classificação final
Durante o seemstre realizar-se-ão dois testes escritos, cada um deles com a classificação de 10 (em 20). O primeiro teste realiza-se a meio do semestre e o segundo teste realiza-se no fim do semestre.
A classificação final será a soma, arredondada às unidades, das classificaçõesa obtida no exame.
O exame da época de recurso é constituído por duas partes correspondentes aos testes realizados na época normal.
Avaliação especial (TE, DA, ...)
Qualquer tipo de avaliação especial poderá ser oral ou escrita, ou uma combinação das duas.