Equações Diferenciais

Código:

M2035

Sigla:

M2035

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2023/2024 - 2S

Ativa?	Sim
Página Web:	https://moodle2324.up.pt/course/view.php?id=2254
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Matemática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:B	0	Plano de Estudos Oficial	3	-	9	72	243
L:CC	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2021/22	2	-	9	72	243
			3
L:F	0	Plano de Estudos Oficial	2	-	9	72	243
			3
L:G	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2017/18	2	-	9	72	243
			3
L:M	79	Plano de Estudos Oficial	2	-	9	72	243
L:MA	28	Plano de Estudos Oficial	2	-	9	72	243
L:Q	4	Plano estudos a partir do ano letivo 2016/17	3	-	9	72	243

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Aquisição de conhecimentos básicos da teoria das Equações Diferenciais e aplicação desta teoria a situações reais.

Resultados de aprendizagem e competências

Pretende-se que os estudantes adquiram conhecimentos e se familiarizem com técnicas que lhes permitam:

a. resolver equações diferenciais ordinárias de tipo clássico (de 1ª e 2ª ordem) e sistemas lineares de equações diferenciais ordinárias;

b. estudar equações diferenciais do ponto de vista qualitativo (pontos de equilíbrio, estabilidade e diagramas de fase no caso de dimensão 2);

c. modelar (e resolver) problemas reais que envolvem equações diferenciais;

d. resolver equações em derivadas parciais clássicas (equação do calor, da onda e de Laplace) usando separação de variáveis e expansão em série de Fourier.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Análise Real I, II e III e Álgebra Linear e Geometria Analítica I e II.

Programa

1. Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem 
Equações diferenciais lineares, separáveis, exatas, homogéneas. Aplicações: datação por isótopos radioativos, crescimento de populações, misturas, trajetórias ortogonais entre outras.  

2. Teorema da existência e unicidade de solução

3. Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem
Sistemas lineares homogéneos com coeficientes constantes e sistemas não lineares autónomos.
Diagramas de fase para sistemas autónomos de duas equações diferenciais.
Pontos de equilíbrio e critérios de estabilidade.
Aplicações: modelo do arrefecimento de Newton com temperatura ambiente variável, modelo de Lotka-Volterra.

4. Equações diferenciais ordinárias lineares de 2ª ordem 
Equações lineares homogéneas. Diagrama de fase e gráfico das soluções no caso de coeficientes constantes.
Método da variação dos parâmetros e método da redução de ordem para equações lineares não homogéneas.
Resolução de equações diferenciais lineares de 2ª ordem por expansão em série de potências. Aplicação: movimento de um objeto sujeito à força de uma mola elástica, com ou sem atrito, com ou sem ação de forças exteriores.

5. Equações em derivadas parciais 
Problemas de valor na fronteira. Separação de variáveis. Séries de Fourier.
Equação do calor, da onda e de Laplace e sua resolução.

Bibliografia Obrigatória

Braun Martin; Differential equations and their applications. ISBN: 0-387-90266-X

Bibliografia Complementar

Hirsch Morris W.; Differential equations, dynamical systems, and linear algebra. ISBN: 0-12-349550

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Aulas teóricas com apresentação teórica da matéria e ilustração através de exemplos. 
Aulas teorico-práticas com resolução de problemas concretos pelos estudantes.

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Análise matemática > Equações diferenciais

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	60,00
Teste	40,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	171,00
Frequência das aulas	72,00
Total:	243,00

Obtenção de frequência

Não aplicável.

Fórmula de cálculo da classificação final

Na época normal a classificação será a soma das classificações obtidas em dois testes. 
O primeiro teste terá a cotação de 8 (oito) valores e será realizado durante o semestre, em data a fixar na primeira aula. O segundo teste terá a cotação de 12 (doze) valores e terá lugar na época normal de exames.

Na época de recurso a classificação será a de um exame valendo 20 (vinte) valores. O exame constará de duas partes, correspondendo cada parte à matéria avaliada no teste correspondente. A todos os estudantes que não tiverem ainda obtido aprovação, será dada a hipótese de usarem a classificação obtidas num dos testes (em substituição da resolução da parte correspondente do exame).

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Estudantes que por estatuto especial estejam dispensados da avaliação distribuída terão um exame nas condições descritas para a época de recurso.

Melhoria de classificação

A melhoria de classificação deverá ser feita na época de recurso e 
a classificação respetiva será a obtida no exame (para 20 valores).