Física Não Linear

Código:

F4030

Sigla:

F4030

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Física

Ocorrência: 2022/2023 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Física e Astronomia
Curso/CE Responsável:	Mestrado em Física

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
M:A_ASTR	0	Plano de Estudos oficial desde_2013/14	1	-	6	42	162
			2
M:F	7	Plano de Estudos Oficial.	1	-	6	42	162
			2

Língua de trabalho

Português - Suitable for English-speaking students

Objetivos

Conhecer alguns métodos de descrição qualitativa do comportamento global de um sistema não-linear.

Conhecer os principais tipos de bifurcações em espaços de fase de 1 e 2 dimensões, e as formas canónicas que lhes dão origem. Ser capaz de rescalonar as equações de movimento de um sistema não linear de modo a o reduzir a uma forma canónica. Ser capaz de determinar pontos fixos e sua estabilidade linear, bem como o seu tipo. Ser capaz de esboçar (ou desenhar com ferramentas de software apropriadas)  e interpretar um diagrama de fase, e de compreender a sua evolução através de uma bifurcação, ou inversamente determinar a existência de uma bifurcação, e seu tipo, a partir da evolução de um diagrama de fase em função de um parâmetro.
Conhecer e saber aplicar condições que determinam ou proibem a existência de ciclos limite.

Identificar equações não-lineares que podem ser reduzidas a algumas formas integráveis.
Compreender o processo de formação de um choque e as várias maneiras de regularizar a solução matemática por forma a manter-se físicamente válida.

Saber o processo de expansão em perturbações, e conseguir aplica-lo a equações não-lineares.

Conhecer algumas equações de onda canónicas não-lineares como a KdV, e NLS, e ser capaz de procurar soluções no estado estacionário.
Conhecer alguns métodos de obtenção de soluções de equações não-lineares a partir de soluções conhecidas (Miura, Backlund).

Resultados de aprendizagem e competências

Demonstrar capacidade de compreensão de conceitos, modelos e técnicas de Física Não-linear.

Desenvolver as aptidões para a compreensão de fenómenos não-lineares, da sua descrição, da análise de problemas de Física Não-linear e derivação das equações que governam os fenómenos, também em escalas distintas.

Demonstrar capacidade de escolher e aplicar métodos distintos de análise de problemas com não-linearidade, para a obtenção e caracterização das respectivas soluções.

Desenvolver competências e conhecimentos que agilizem a atividade de investigação e desenvolvimento, nomeadamente, que facilitem a leitura e compreensão da literatura da área.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Mecânica, Ondas, equações diferenciais, incluindo às derivadas parciais. Métodos numéricos básicos (integração de ODEs). Conhecimentos de programação.

Programa

Exemplos de ocorrência de ondas não lineares e instabilidades na Natureza.

Fluxos em 1d (sistemas de ordem 1). Pontos fixos. Análise de estabilidade linear (LSA).
Bifurcações: sela-nodo, transcrítica, de forquilha (supercrítica e subcrítica). Bifurcações "imperfeitas".

Fluxo na circunferência. Lei de escala do período de oscilação.

Fluxo em 2D (sistemas de ordem 2). Pontos fixos: nodos, espirais, centros, pontos de sela, pontos degenerados (nodos estrela, pontos fixos não isolados). Tipos de estabilidade: assimptótica, de Lyapunov, instabilidade.

Retratos de fase em 2D (caso geral). Linearização em torno dos pontos fixos. Pontos fixos robustos (fontes, sumidouros, selas) vs casos marginais (centros, pontos fixos de ordem superior e não isolados). Sistemas conservativos. Órbitas homoclínicas. Centros não lineares. Sistemas reversíveis. Teorema de Poincaré. Trajectórias heteroclinicas. Teoria de índices. Órbitas fechadas em dimensões superiores a 1. Ciclos limite. Condições para a não existência de ciclos limite: sistemas gradientes, existência de funções de Lyapunov, critério de Dulac. Teorema de Poincaré-Bendixson para a existência de ciclos limite. Sistemas de Liénard. Teorema de Liénard.
Oscilações de relaxação.
Bifurcações em 2D. Bifurcação nodo-sela. Bifurcações transcrítica e de forquilha (supercrítica e subcrítica).
Bifurcações de Hopf. Outras bifurcações globais de ciclos.

Métodos exactos. Integrais elípticos completos e incompletos de primeira espécie. Funções elípticas de Jacobi.

Métodos de perturbações. Método de perturbações regulares (Poisson). Termos seculares.
Método de Poincaré-Lindstedt. Método de escalas múltiplas. Condições de solvabilidade.
Oscilações forçadas do oscilador de Duffing.
Oscilações sub-harmónicas, ultra-harmónicas e ultra-sub-harmónicas.

Revisão da equação de onda linear.
Equação de advecção linear vs não-linear. Método das características. Aplicação à equação de advecção não linear. Solução implícita. Formação de choques. Equações de conservação. Regularização de choque. Condição de Rankine-Hugoniot pela conservação da massa ou pela conservação da energia.
Equação de Burgers víscida ou invíscida. Transformação de Cole-Hopf.

Equações canónicas de Física Não-linear: Kortweg-deVries (KdV), Schrödinger Não linear (NLS), sine-Gordon (SG). Propagação de ondas à superfície de um fluído. Equação de Korteweg-de Vries. Solitões. Solitão de Zabusky e Kruskal. Tipos de soluções possíveis. Onda solitónica e ondas cnoidais.
Invariância de escala da KdV. Leis de conservação.
Transformação de Miura. Transformação de Gardner. Prova da existência de um número infinito de quantidades conservadas. Intregrabilidade.
Transformações de Backlund. Auto-transformação de Backlund para a KdV. Transformação de Hirota.

Métodos numéricos: integração de equações diferenciais (ODE) e de equações diferenciais às derivadas parciais(PDE). Métodos explícitos. Métodos implícitos. "Split-step Fourier". Newton-Raphson.

Bibliografia Obrigatória

Strogatz Steven H.; Nonlinear dynamics and chaos. ISBN: 0-201-54344-3
Drazin P. G.; Solitons. ISBN: 0-521-33655-4
Dauxois Thierry; Physics of solitons. ISBN: 978-0-521-14360-8

Bibliografia Complementar

Infeld E. (Eryk); Nonlinear waves, solitons, and chaos. ISBN: 0521379377
Remoissenet Michel; Waves called solitons. ISBN: 3-540-65919-6
Moloney Jerome; Nonlinear optics. ISBN: 0-8133-4118-3
Enns Richard H.; Nonlinear physics with Maple for scientists and engineers. ISBN: 9780817641191

Observações Bibliográficas

Embora indique 3 livros como obrigatórios, as aulas serão "auto-suficientes". Poderão ser fornecidos elementos adicionais, como artigos relevantes em cada altura do curso.

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Aulas de exposição. Aulas de resolução de problemas. Projectos computacionais.

Software

Python/Matlab/Octave
pplane8

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	100,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	120,00
Frequência das aulas	42,00
Total:	162,00

Obtenção de frequência

Presença em 3/4 das aulas.

Fórmula de cálculo da classificação final

NOTA FINAL = max(N_e ,N_t),
onde N_e = nota do exame final;
N_t = nota (média) dos 2 testes = 1/2* T1+ 1/2*T2
onde T1 = nota teste 1
T2 nota teste 2 (na data do exame da época normal)

Melhoria de classificação

Exame escrito, apenas para esta componente.

Observações

Júri da UC: Augusto Silveira Rodrigues
João Lopes dos Santos
Eduardo Castro


Horário de atendimento:

O horário de dúvidas é anunciado no Moodle e terá lugar no gabinete do docente mas,
devem os estudantes fazer o pedido por email com antecedência mínima de dois dias úteis.

No caso de impossibilidade de algum estudante por sobreposição com outras aulas, o atendimento poderá ser marcado (com carácter excepcional e
em substituição do horário de atendimento regular) noutro horário. Notar que esta situação não pode ser feita por sistema, mas apenas esporadicamente.
Também neste caso, o pedido deve ser feito por email com antecedência superior a dois dias úteis, sugerindo horários, de forma a tentar a permitir encontrar
disponibilidade de agenda do docente.


Observações:
1)  Os testes têm a duração de 2h máxima e correspondem a 2 a  3 problemas.
2) Qualquer situação não prevista neste regulamento será alvo de análise e decisão pelo docente responsável pela unidade curricular. Em particular, em casos em que os estudantes queiram fazer
uma pedição sobre alterações ao regulamento, esclarecimentos ou evocar condição de excepção, entre outros casos, que não seja coberta pelos regulamentos da Faculdade de Ciências
da Universidade do Porto ou outra regulação aplicavel, devem fazê-lo por escrito ao docente responsável pela unidade curricular num prazo que não deve exceder duas semanas
após a ocorrência dos factos que justifiquem esse pedido. Por decisão do docente responsável, o pedido pode ser avaliado pelo juri da unidade curricular ou remetido a orgãos superiores de decisão.