Análise II

Código:

M1015

Sigla:

M1015

Nível:

100

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2022/2023 - 2S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Física

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:B	0	Plano de Estudos Oficial	3	-	9	84	243
L:CC	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2021/22	2	-	9	84	243
L:EF	102	Plano estudos a partir do ano letivo 2021/22	1	-	9	84	243
L:F	87	Plano de Estudos Oficial	1	-	9	84	243
			2
L:G	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2017/18	2	-	9	84	243
			3
L:Q	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2016/17	3	-	9	84	243

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Resultados de aprendizagem e competências

Ao completar com sucesso esta unidade curricular, o estudante deve saber:  os resultados fundamentais de análise de funções de várias variáveis e compreender as noções de derivada parcial, gradiente, pontos de máximo e mínimo local, plano tangente ao gráfico de uma função de duas variáveis, sendo capaz de determinar valores extremos de funções reais de várias variáveis com restrições; os métodos de integração múltipla e ser capaz de os usar na determinação de áreas, volumes, etc, de regiões do plano ou do espaço recorrendo, se necessário, a mudança de variáveis.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Espera-se que o estudante tenha previamente adquirido conhecimentos básicos de Álgebra Linear (matrizes, espaços vetoriais) e Cálculo de funções reais duma variável real.

Programa

1. Curvas diferenciáveis: vetores velocidade e aceleração; comprimento de arco; curvatura e raio de curvatura; triedro de Frenet e torção para curvas no espaço tridimensional.

2.  Gráficos de funções, curvas e superficies de nível. Abertos, fechados, pontos de acumulação e pontos isolados. Limites e continuidade. Derivadas direcionais e parciais. Gradiente de função escalar. Derivabilidade. Plano tangente ao gráfico de uma função. Reta normal e hiperplano tangente a uma superfície de nível num ponto. Matriz Jacobiana. Derivada da função composta. Teoremas da função inversa e da função implícita.

3. Máximos e mínimos de funções escalares. Extremos condicionados: multiplicadores de Lagrange. (Hiper)superfícies num espaço Euclideano. Superfícies orientáveis.

4. Integrais múltiplos. Definição de integral (de Riemann) de uma função sobre uma região limitada. Teorema de Fubini: cálculo de integrais via integrais iterados. Mudança de coordenadas. Integrais duplos em coordenadas polares, e triplos em coordenadas cilíndricas e esféricas.

Bibliografia Obrigatória

James Stewart; Calculus early transcendentals, Cengage, 2016. ISBN: 978-1-285-74155-0 (8ª edição)
Jerrold E. Marsden; Vector calculus. ISBN: 978-1-4292-2404-8

Bibliografia Complementar

Marsden Jerrold; Calculus iii. 2nd ed. ISBN: 0-387-90985-0
Lang Serge; Calculus of several variables. ISBN: 0-387-96405-3
Elon Lages Lima; Análise Rea,l volume 2 - Funções de n Variáveis, IMPA, 2014. ISBN: e-ISBN 978-85-244-0381-1
George Arfken Hans Weber Frank E. Harris; Mathematical Methods for Physicists, Academic Press, 2012. ISBN: 9780123846549
Sokolnikoff I. S.; Mathematics of physics and modern engineering
Fleming Wendell; Functions of several variables. ISBN: 0-387-90206-6
P. C. Matthews; Vector calculus, Springer, 2005. ISBN: 3-540-76180-2
Bressoud David M.; Second year calculus. ISBN: 0-387-97606-X
Arfken George B.; Mathematical methods for physicists. ISBN: 0-12-059825-6
W. F. Trench; Introduction to real analysis, Mathematics Commons, 2013 (http://digitalcommons.trinity.edu/mono/7/)
K. Kuttler; Calculus - Theory and Applications, Vol. 2, World Scientific, 2011. ISBN: 978-981-4329-70-5
Michael Spivak; Calculus on manifolds

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Aulas teóricas com a exposição da matéria pelo docente e aulas teórico-práticas com a discussão e resolução de problemas.

Software

Sage

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Análise matemática

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	40,00
Teste	60,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	159,00
Frequência das aulas	84,00
Total:	243,00

Obtenção de frequência

Incondicional.

Fórmula de cálculo da classificação final

Melhoria de classificação

No decorrer do semestre, aplicam-se as regras fixadas na fórmula de cálculo da classificação. Posteriormente, aplica-se o estipulado no regulamento geral da avaliação.Em particular, estudantes aprovados em ano anterior que pretendam fazer melhoria de nota na época normal só o poderão fazer participando nos testes.

Observações

Os estudantes com classificação igual ou superior a 18 valores poderão ser chamados a prestar uma prova complementar para confirmação da nota. Os estudantes com classificação de 8 ou 9 valores poderão também ser convidados a fazer uma prova complementar para acesso à aprovação, em resultado da qual poderão ser aprovados com 10 valores ou manter a nota anterior.