Introdução à Topologia

Código:

M3019

Sigla:

M3019

Nível:

300

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2022/2023 - 1S

Ativa?	Sim
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Ciência de Computadores

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
L:B	1	Plano de Estudos Oficial	3	-	6	56	162
L:CC	1	Plano estudos a partir do ano letivo 2021/22	3	-	6	56	162
L:F	1	Plano de Estudos Oficial	2	-	6	56	162
			3
L:G	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2017/18	2	-	6	56	162
			3
L:Q	0	Plano estudos a partir do ano letivo 2016/17	3	-	6	56	162

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Compreensão de certos teoremas clássicos da topologia e da análise funcional, e das suas aplicações à análise matemática.

Resultados de aprendizagem e competências

Descritos nos objectivos.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Análise Real I, II, III
Álgebra Linear e Geometria Analítica I, II

Programa

I - Elementos de Topologia:

• Espaços topológicos; abertos; conceitos básicos e exemplos.
• Funções contínuas.
• Sucessões de Cauchy. Completude. Completamento.
• Espaços conexos.
• Espaços compactos.
• Espaços produto. Teorema de Tychonoff.

II - Elementos de Análise:

• Espaços normados. Espaços de dimensão finita. Espaços de Banach.
• Operadores lineares limitados. Espaço dual.
• Espaços com produto interno. Espaços de Hilbert. Bases ortonormais. Espaços de Hilbert separáveis. Teorema de Representação de Riesz.

III - Aplicações:

• Teorema de Baire; Funções contínuas sem derivada; Princípio da limitação uniforme.
• Teorema do ponto fixo de Banach; Existência de soluções de equações diferenciais; Teorema da função inversa.
• Teorema de Arzelà-Ascoli; Espaços de funções Lipschitz e Hölder; Operadores integrais.
• Teorema de Stone-Weierstrass; Separabilidade do espaço das funções contínuas. Espaço L^2; séries de Fourier.
• Teorema do ponto fixo de Brouwe

Bibliografia Obrigatória

James R. Munkres; Topology. ISBN: 0-13-925495-1
Elon Lages Lima; Espaços métricos. ISBN: 978-85-244-0158-9
Chaim Samuel Honig; Aplicações da topologia à análise
Gueorgui V. Smirnov; Curso de análise linear. ISBN: 972-592-153-4

Observações Bibliográficas

Consultar a ficha da unidade curricular Elementos de Topologia e Análise, M3027, de 2022/23.

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

Exposição da matéria em aulas teórico-práticas com resolução de exercícios exemplificativos.

Palavras Chave

Ciências Físicas > Matemática > Análise matemática

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída sem exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Teste	100,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	106,00
Frequência das aulas	56,00
Total:	162,00

Obtenção de frequência

Não haverá controlo de assiduidade.

Fórmula de cálculo da classificação final

Durante o seemstre realizar-se-ão dois testes escritos, cada um deles com a classificação de 10 (em 20). O primeiro teste realiza-se a meio do semestre e o segundo teste realiza-se no fim do semestre.


A classificação final será a soma, arredondada às unidades, das classificaçõesa obtida no exame.

O exame da época de recurso é cosntituído por duas partes correspondentes aos testes realiados na época normal.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Consultar a ficha da unidade curricular Elementos de Topologia e Análise, M3027, de 2022/23.